Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30000 / 20946
↖ ↑ ↗
← N 54.310114°
W 15.205078°		 ← 356.37 m → N 54.310114°
W 15.199585°		 →
↑
356.33 m
↓
↑
356.33 m
↓
N 54.306910°
W 15.205078°		 ← 356.40 m →
126 990 m²		 N 54.306910°
W 15.199585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457771301269531 y=0.319618225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457771301269531 × 216)
    floor (0.457771301269531 × 65536)
    floor (30000.5)     		tx = 30000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319618225097656 × 216)
    floor (0.319618225097656 × 65536)
    floor (20946.5)     		ty = 20946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30000 / 20946 ti = "16/30000/20946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30000/20946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30000 ÷ 216
    30000 ÷ 65536     		x = 0.457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20946 ÷ 216
    20946 ÷ 65536     		y = 0.319610595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.08447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26537868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319610595703125 × 2 - 1) × π
    0.36077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13342005461661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26537868} λ = -0.26537868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13342005461661))-π/2
    2×atan(3.10626193968321)-π/2
    2×1.25934331956448-π/2
    2.51868663912895-1.57079632675     		φ = 0.94789031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26537868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94789031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.310114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30000 KachelY 20946 -0.26537868 0.94789031 -15.205078 54.310114
    Oben rechts KachelX + 1 30001 KachelY 20946 -0.26528280 0.94789031 -15.199585 54.310114
    Unten links KachelX 30000 KachelY + 1 20947 -0.26537868 0.94783438 -15.205078 54.306910
    Unten rechts KachelX + 1 30001 KachelY + 1 20947 -0.26528280 0.94783438 -15.199585 54.306910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94789031-0.94783438) × R
    5.59300000000373e-05 × 6371000     		dl = 356.330030000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94789031-0.94783438) × R
    5.59300000000373e-05 × 6371000     		dr = 356.330030000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26537868--0.26528280) × cos(0.94789031) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.583397848272506 × 6371000     		do = 356.369439046048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26537868--0.26528280) × cos(0.94783438) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.583443272952317 × 6371000     		du = 356.397186778939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94789031)-sin(0.94783438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583397848272506-0.583443272952317)×R²
    abs(-0.26528280--0.26537868)×4.54246798110569e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54246798110569e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54246798110569e-05×40589641000000     		ar = 126990.076614785m²