Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 300 / 100
↖ ↑ ↗
← N 83.277705°
W127.265625°		 ← 2 288 m → N 83.277705°
W127.089844°		 →
↑
2 291.52 m
↓
↑
2 291.52 m
↓
N 83.257097°
W127.265625°		 ← 2 294.98 m →
5 250 993 m²		 N 83.257097°
W127.089844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146728515625 y=0.049072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146728515625 × 211)
    floor (0.146728515625 × 2048)
    floor (300.5)     		tx = 300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.049072265625 × 211)
    floor (0.049072265625 × 2048)
    floor (100.5)     		ty = 100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 300 / 100 ti = "11/300/100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/300/100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 300 ÷ 211
    300 ÷ 2048     		x = 0.146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100 ÷ 211
    100 ÷ 2048     		y = 0.048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146484375 × 2 - 1) × π
    -0.70703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22120418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.048828125 × 2 - 1) × π
    0.90234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.83479649593164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22120418} λ = -2.22120418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.83479649593164))-π/2
    2×atan(17.026934897273)-π/2
    2×1.5121332366157-π/2
    3.0242664732314-1.57079632675     		φ = 1.45347015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22120418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45347015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.277705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 300 KachelY 100 -2.22120418 1.45347015 -127.265625 83.277705
    Oben rechts KachelX + 1 301 KachelY 100 -2.21813622 1.45347015 -127.089844 83.277705
    Unten links KachelX 300 KachelY + 1 101 -2.22120418 1.45311047 -127.265625 83.257097
    Unten rechts KachelX + 1 301 KachelY + 1 101 -2.21813622 1.45311047 -127.089844 83.257097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45347015-1.45311047) × R
    0.000359680000000084 × 6371000     		dl = 2291.52128000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45347015-1.45311047) × R
    0.000359680000000084 × 6371000     		dr = 2291.52128000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22120418--2.21813622) × cos(1.45347015) × R
    0.00306796000000009 × 0.117057187752427 × 6371000     		do = 2287.99664999408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22120418--2.21813622) × cos(1.45311047) × R
    0.00306796000000009 × 0.117414387436128 × 6371000     		du = 2294.97846542446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45347015)-sin(1.45311047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.117057187752427-0.117414387436128)×R²
    abs(-2.21813622--2.22120418)×0.000357199683700946×R²
    0.00306796000000009×0.000357199683700946×6371000²
    0.00306796000000009×0.000357199683700946×40589641000000     		ar = 5250992.55795012m²