Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 30 / 38
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
W137.812500°		 ← 33.935 km → N 77.466029°
W136.406250°		 →
↑
34.344 km
↓
↑
34.344 km
↓
N 77.157163°
W137.812500°		 ← 34.757 km →
1 179.59 km²		 N 77.157163°
W136.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119140625 y=0.150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119140625 × 28)
    floor (0.119140625 × 256)
    floor (30.5)     		tx = 30
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150390625 × 28)
    floor (0.150390625 × 256)
    floor (38.5)     		ty = 38
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 30 / 38 ti = "8/30/38"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/30/38.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30 ÷ 28
    30 ÷ 256     		x = 0.1171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38 ÷ 28
    38 ÷ 256     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1171875 × 2 - 1) × π
    -0.765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40528188} λ = -2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30 KachelY 38 -2.40528188 1.35203726 -137.812500 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 31 KachelY 38 -2.38073818 1.35203726 -136.406250 77.466029
    Unten links KachelX 30 KachelY + 1 39 -2.40528188 1.34664653 -137.812500 77.157163
    Unten rechts KachelX + 1 31 KachelY + 1 39 -2.38073818 1.34664653 -136.406250 77.157163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.34664653) × R
    0.00539073000000001 × 6371000     		dl = 34344.3408300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.34664653) × R
    0.00539073000000001 × 6371000     		dr = 34344.3408300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40528188--2.38073818) × cos(1.35203726) × R
    0.0245437000000002 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 33934.71920026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40528188--2.38073818) × cos(1.34664653) × R
    0.0245437000000002 × 0.222277508521736 × 6371000     		du = 34757.0700477006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.34664653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.222277508521736)×R²
    abs(-2.38073818--2.40528188)×0.00525907670724229×R²
    0.0245437000000002×0.00525907670724229×6371000²
    0.0245437000000002×0.00525907670724229×40589641000000     		ar = 1179589967.64935m²