Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29999 / 29886
↖ ↑ ↗
← S 81.410652°
E149.578857°		 ← 182.45 m → S 81.410652°
E149.589844°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
S 81.412293°
E149.578857°		 ← 182.42 m →
33 277 m²		 S 81.412293°
E149.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915512084960938 y=0.912063598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915512084960938 × 215)
    floor (0.915512084960938 × 32768)
    floor (29999.5)     		tx = 29999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912063598632812 × 215)
    floor (0.912063598632812 × 32768)
    floor (29886.5)     		ty = 29886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29999 / 29886 ti = "15/29999/29886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29999/29886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29999 ÷ 215
    29999 ÷ 32768     		x = 0.915496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29886 ÷ 215
    29886 ÷ 32768     		y = 0.91204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915496826171875 × 2 - 1) × π
    0.83099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61064355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.8240966796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58897607467999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61064355} λ = 2.61064355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58897607467999))-π/2
    2×atan(0.0750968943436742)-π/2
    2×0.0749561993758304-π/2
    0.149912398751661-1.57079632675     		φ = -1.42088393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61064355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42088393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.410652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29999 KachelY 29886 2.61064355 -1.42088393 149.578857 -81.410652
    Oben rechts KachelX + 1 30000 KachelY 29886 2.61083530 -1.42088393 149.589844 -81.410652
    Unten links KachelX 29999 KachelY + 1 29887 2.61064355 -1.42091256 149.578857 -81.412293
    Unten rechts KachelX + 1 30000 KachelY + 1 29887 2.61083530 -1.42091256 149.589844 -81.412293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42088393--1.42091256) × R
    2.8630000000085e-05 × 6371000     		dl = 182.401730000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42088393--1.42091256) × R
    2.8630000000085e-05 × 6371000     		dr = 182.401730000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61064355-2.61083530) × cos(-1.42088393) × R
    0.000191750000000379 × 0.149351512384751 × 6371000     		do = 182.453669576434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61064355-2.61083530) × cos(-1.42091256) × R
    0.000191750000000379 × 0.149323203432889 × 6371000     		du = 182.419086249713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42088393)-sin(-1.42091256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149351512384751-0.149323203432889)×R²
    abs(2.61083530-2.61064355)×2.83089518616497e-05×R²
    0.000191750000000379×2.83089518616497e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.83089518616497e-05×40589641000000     		ar = 33276.7109483527m²