Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29999 / 23377
↖ ↑ ↗
← N 74.901550°
W 97.605286°		 ← 79.56 m → N 74.901550°
W 97.602539°		 →
↑
79.51 m
↓
↑
79.51 m
↓
N 74.900835°
W 97.605286°		 ← 79.56 m →
6 326 m²		 N 74.900835°
W 97.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228878021240234 y=0.178356170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228878021240234 × 217)
    floor (0.228878021240234 × 131072)
    floor (29999.5)     		tx = 29999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.178356170654297 × 217)
    floor (0.178356170654297 × 131072)
    floor (23377.5)     		ty = 23377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29999 / 23377 ti = "17/29999/23377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29999/23377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29999 ÷ 217
    29999 ÷ 131072     		x = 0.228874206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23377 ÷ 217
    23377 ÷ 131072     		y = 0.178352355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228874206542969 × 2 - 1) × π
    -0.542251586914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.70353360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.178352355957031 × 2 - 1) × π
    0.643295288085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.02097175108195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70353360} λ = -1.70353360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02097175108195))-π/2
    2×atan(7.54565386944619)-π/2
    2×1.43903750077016-π/2
    2.87807500154033-1.57079632675     		φ = 1.30727867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70353360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.605286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30727867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.901550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29999 KachelY 23377 -1.70353360 1.30727867 -97.605286 74.901550
    Oben rechts KachelX + 1 30000 KachelY 23377 -1.70348566 1.30727867 -97.602539 74.901550
    Unten links KachelX 29999 KachelY + 1 23378 -1.70353360 1.30726619 -97.605286 74.900835
    Unten rechts KachelX + 1 30000 KachelY + 1 23378 -1.70348566 1.30726619 -97.602539 74.900835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30727867-1.30726619) × R
    1.24800000000924e-05 × 6371000     		dl = 79.5100800005888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30727867-1.30726619) × R
    1.24800000000924e-05 × 6371000     		dr = 79.5100800005888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70353360--1.70348566) × cos(1.30727867) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.260478382610482 × 6371000     		do = 79.5568027631259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70353360--1.70348566) × cos(1.30726619) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.260490431776601 × 6371000     		du = 79.5604828886043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30727867)-sin(1.30726619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.260478382610482-0.260490431776601)×R²
    abs(-1.70348566--1.70353360)×1.204916611941e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.204916611941e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.204916611941e-05×40589641000000     		ar = 6325.71405595968m²