Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29998 / 29714
↖ ↑ ↗
← S 81.123779°
E149.567871°		 ← 188.49 m → S 81.123779°
E149.578857°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
S 81.125475°
E149.567871°		 ← 188.45 m →
35 530 m²		 S 81.125475°
E149.578857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915481567382812 y=0.906814575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915481567382812 × 215)
    floor (0.915481567382812 × 32768)
    floor (29998.5)     		tx = 29998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906814575195312 × 215)
    floor (0.906814575195312 × 32768)
    floor (29714.5)     		ty = 29714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29998 / 29714 ti = "15/29998/29714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29998/29714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29998 ÷ 215
    29998 ÷ 32768     		x = 0.91546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29714 ÷ 215
    29714 ÷ 32768     		y = 0.90679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91546630859375 × 2 - 1) × π
    0.8309326171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61045181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.8135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55599548774139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61045181} λ = 2.61045181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55599548774139))-π/2
    2×atan(0.0776149288862463)-π/2
    2×0.0774596370209767-π/2
    0.154919274041953-1.57079632675     		φ = -1.41587705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61045181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41587705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.123779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29998 KachelY 29714 2.61045181 -1.41587705 149.567871 -81.123779
    Oben rechts KachelX + 1 29999 KachelY 29714 2.61064355 -1.41587705 149.578857 -81.123779
    Unten links KachelX 29998 KachelY + 1 29715 2.61045181 -1.41590664 149.567871 -81.125475
    Unten rechts KachelX + 1 29999 KachelY + 1 29715 2.61064355 -1.41590664 149.578857 -81.125475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41587705--1.41590664) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41587705--1.41590664) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61045181-2.61064355) × cos(-1.41587705) × R
    0.000191739999999996 × 0.154300343330798 × 6371000     		do = 188.489525226501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61045181-2.61064355) × cos(-1.41590664) × R
    0.000191739999999996 × 0.1542711076334 × 6371000     		du = 188.453811613664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41587705)-sin(-1.41590664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154300343330798-0.1542711076334)×R²
    abs(2.61064355-2.61045181)×2.92356973985997e-05×R²
    0.000191739999999996×2.92356973985997e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.92356973985997e-05×40589641000000     		ar = 35530.2812578926m²