Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29998 / 15379
↖ ↑ ↗
← N 68.618537°
W 15.216064°		 ← 222.68 m → N 68.618537°
W 15.210571°		 →
↑
222.73 m
↓
↑
222.73 m
↓
N 68.616533°
W 15.216064°		 ← 222.70 m →
49 599 m²		 N 68.616533°
W 15.210571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457740783691406 y=0.234672546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457740783691406 × 216)
    floor (0.457740783691406 × 65536)
    floor (29998.5)     		tx = 29998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234672546386719 × 216)
    floor (0.234672546386719 × 65536)
    floor (15379.5)     		ty = 15379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29998 / 15379 ti = "16/29998/15379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29998/15379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29998 ÷ 216
    29998 ÷ 65536     		x = 0.457733154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15379 ÷ 216
    15379 ÷ 65536     		y = 0.234664916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.08453369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26557042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234664916992188 × 2 - 1) × π
    0.530670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.66714949498631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26557042} λ = -0.26557042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66714949498631))-π/2
    2×atan(5.29704699743801)-π/2
    2×1.38420785784777-π/2
    2.76841571569554-1.57079632675     		φ = 1.19761939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26557042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.216064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19761939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.618537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29998 KachelY 15379 -0.26557042 1.19761939 -15.216064 68.618537
    Oben rechts KachelX + 1 29999 KachelY 15379 -0.26547455 1.19761939 -15.210571 68.618537
    Unten links KachelX 29998 KachelY + 1 15380 -0.26557042 1.19758443 -15.216064 68.616533
    Unten rechts KachelX + 1 29999 KachelY + 1 15380 -0.26547455 1.19758443 -15.210571 68.616533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19761939-1.19758443) × R
    3.49600000000283e-05 × 6371000     		dl = 222.73016000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19761939-1.19758443) × R
    3.49600000000283e-05 × 6371000     		dr = 222.73016000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26557042--0.26547455) × cos(1.19761939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364575547154043 × 6371000     		do = 222.678285442743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26557042--0.26547455) × cos(1.19758443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364608100767754 × 6371000     		du = 222.698168791867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19761939)-sin(1.19758443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364575547154043-0.364608100767754)×R²
    abs(-0.26547455--0.26557042)×3.25536137110172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25536137110172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25536137110172e-05×40589641000000     		ar = 49599.3844611027m²