Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29997 / 41319
↖ ↑ ↗
← S 42.451835°
W 15.221558°		 ← 450.71 m → S 42.451835°
W 15.216064°		 →
↑
450.68 m
↓
↑
450.68 m
↓
S 42.455888°
W 15.221558°		 ← 450.68 m →
203 123 m²		 S 42.455888°
W 15.216064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457725524902344 y=0.630485534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457725524902344 × 216)
    floor (0.457725524902344 × 65536)
    floor (29997.5)     		tx = 29997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630485534667969 × 216)
    floor (0.630485534667969 × 65536)
    floor (41319.5)     		ty = 41319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29997 / 41319 ti = "16/29997/41319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29997/41319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29997 ÷ 216
    29997 ÷ 65536     		x = 0.457717895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41319 ÷ 216
    41319 ÷ 65536     		y = 0.630477905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457717895507812 × 2 - 1) × π
    -0.084564208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26566630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630477905273438 × 2 - 1) × π
    -0.260955810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.8198168573022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26566630} λ = -0.26566630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8198168573022))-π/2
    2×atan(0.440512323734166)-π/2
    2×0.414936019159097-π/2
    0.829872038318193-1.57079632675     		φ = -0.74092429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26566630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.221558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74092429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.451835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29997 KachelY 41319 -0.26566630 -0.74092429 -15.221558 -42.451835
    Oben rechts KachelX + 1 29998 KachelY 41319 -0.26557042 -0.74092429 -15.216064 -42.451835
    Unten links KachelX 29997 KachelY + 1 41320 -0.26566630 -0.74099503 -15.221558 -42.455888
    Unten rechts KachelX + 1 29998 KachelY + 1 41320 -0.26557042 -0.74099503 -15.216064 -42.455888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74092429--0.74099503) × R
    7.07399999999581e-05 × 6371000     		dl = 450.684539999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74092429--0.74099503) × R
    7.07399999999581e-05 × 6371000     		dr = 450.684539999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26566630--0.26557042) × cos(-0.74092429) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.737845005803234 × 6371000     		do = 450.713713805741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26566630--0.26557042) × cos(-0.74099503) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.737797256566414 × 6371000     		du = 450.68454611376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74092429)-sin(-0.74099503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737845005803234-0.737797256566414)×R²
    abs(-0.26557042--0.26566630)×4.77492368206045e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77492368206045e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77492368206045e-05×40589641000000     		ar = 203123.130149176m²