Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29997 / 29822
↖ ↑ ↗
← S 81.305000°
E149.556885°		 ← 184.68 m → S 81.305000°
E149.567871°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
S 81.306661°
E149.556885°		 ← 184.65 m →
34 095 m²		 S 81.306661°
E149.567871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915451049804688 y=0.910110473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915451049804688 × 215)
    floor (0.915451049804688 × 32768)
    floor (29997.5)     		tx = 29997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910110473632812 × 215)
    floor (0.910110473632812 × 32768)
    floor (29822.5)     		ty = 29822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29997 / 29822 ti = "15/29997/29822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29997/29822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29997 ÷ 215
    29997 ÷ 32768     		x = 0.915435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29822 ÷ 215
    29822 ÷ 32768     		y = 0.91009521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915435791015625 × 2 - 1) × π
    0.83087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61026006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91009521484375 × 2 - 1) × π
    -0.8201904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57670422837726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61026006} λ = 2.61026006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57670422837726))-π/2
    2×atan(0.07602414982033)-π/2
    2×0.0758781907771362-π/2
    0.151756381554272-1.57079632675     		φ = -1.41903995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61026006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.556885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41903995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.305000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29997 KachelY 29822 2.61026006 -1.41903995 149.556885 -81.305000
    Oben rechts KachelX + 1 29998 KachelY 29822 2.61045181 -1.41903995 149.567871 -81.305000
    Unten links KachelX 29997 KachelY + 1 29823 2.61026006 -1.41906893 149.556885 -81.306661
    Unten rechts KachelX + 1 29998 KachelY + 1 29823 2.61045181 -1.41906893 149.567871 -81.306661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41903995--1.41906893) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41903995--1.41906893) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61026006-2.61045181) × cos(-1.41903995) × R
    0.000191749999999935 × 0.151174555659704 × 6371000     		do = 184.680770795141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61026006-2.61045181) × cos(-1.41906893) × R
    0.000191749999999935 × 0.151145908660953 × 6371000     		du = 184.645774497073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41903995)-sin(-1.41906893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151174555659704-0.151145908660953)×R²
    abs(2.61045181-2.61026006)×2.86469987510474e-05×R²
    0.000191749999999935×2.86469987510474e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.86469987510474e-05×40589641000000     		ar = 34094.6717985576m²