Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29996 / 29716
↖ ↑ ↗
← S 81.127169°
E149.545898°		 ← 188.43 m → S 81.127169°
E149.556885°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
S 81.128864°
E149.545898°		 ← 188.39 m →
35 507 m²		 S 81.128864°
E149.556885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915420532226562 y=0.906875610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915420532226562 × 215)
    floor (0.915420532226562 × 32768)
    floor (29996.5)     		tx = 29996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906875610351562 × 215)
    floor (0.906875610351562 × 32768)
    floor (29716.5)     		ty = 29716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29996 / 29716 ti = "15/29996/29716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29996/29716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29996 ÷ 215
    29996 ÷ 32768     		x = 0.9154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29716 ÷ 215
    29716 ÷ 32768     		y = 0.9068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9154052734375 × 2 - 1) × π
    0.830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61006831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55637898293835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61006831} λ = 2.61006831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55637898293835))-π/2
    2×atan(0.0775851696404346)-π/2
    2×0.0774300559057696-π/2
    0.154860111811539-1.57079632675     		φ = -1.41593621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61006831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41593621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.127169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29996 KachelY 29716 2.61006831 -1.41593621 149.545898 -81.127169
    Oben rechts KachelX + 1 29997 KachelY 29716 2.61026006 -1.41593621 149.556885 -81.127169
    Unten links KachelX 29996 KachelY + 1 29717 2.61006831 -1.41596579 149.545898 -81.128864
    Unten rechts KachelX + 1 29997 KachelY + 1 29717 2.61026006 -1.41596579 149.556885 -81.128864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41593621--1.41596579) × R
    2.95800000000845e-05 × 6371000     		dl = 188.454180000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41593621--1.41596579) × R
    2.95800000000845e-05 × 6371000     		dr = 188.454180000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61006831-2.61026006) × cos(-1.41593621) × R
    0.000191749999999935 × 0.154241891561589 × 6371000     		do = 188.427948725817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61006831-2.61026006) × cos(-1.41596579) × R
    0.000191749999999935 × 0.154212665474534 × 6371000     		du = 188.392244990747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41593621)-sin(-1.41596579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154241891561589-0.154212665474534)×R²
    abs(2.61026006-2.61006831)×2.92260870547179e-05×R²
    0.000191749999999935×2.92260870547179e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.92260870547179e-05×40589641000000     		ar = 35506.670309702m²