Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29996 / 20747
↖ ↑ ↗
← N 54.942921°
W 15.227051°		 ← 350.83 m → N 54.942921°
W 15.221558°		 →
↑
350.85 m
↓
↑
350.85 m
↓
N 54.939766°
W 15.227051°		 ← 350.86 m →
123 094 m²		 N 54.939766°
W 15.221558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457710266113281 y=0.316581726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457710266113281 × 216)
    floor (0.457710266113281 × 65536)
    floor (29996.5)     		tx = 29996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316581726074219 × 216)
    floor (0.316581726074219 × 65536)
    floor (20747.5)     		ty = 20747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29996 / 20747 ti = "16/29996/20747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29996/20747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29996 ÷ 216
    29996 ÷ 65536     		x = 0.45770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20747 ÷ 216
    20747 ÷ 65536     		y = 0.316574096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.0845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26576217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316574096679688 × 2 - 1) × π
    0.366851806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15249894066539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26576217} λ = -0.26576217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15249894066539))-π/2
    2×atan(3.16609491559074)-π/2
    2×1.26486560043135-π/2
    2.5297312008627-1.57079632675     		φ = 0.95893487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26576217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.227051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95893487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.942921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29996 KachelY 20747 -0.26576217 0.95893487 -15.227051 54.942921
    Oben rechts KachelX + 1 29997 KachelY 20747 -0.26566630 0.95893487 -15.221558 54.942921
    Unten links KachelX 29996 KachelY + 1 20748 -0.26576217 0.95887980 -15.227051 54.939766
    Unten rechts KachelX + 1 29997 KachelY + 1 20748 -0.26566630 0.95887980 -15.221558 54.939766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95893487-0.95887980) × R
    5.50700000000459e-05 × 6371000     		dl = 350.850970000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95893487-0.95887980) × R
    5.50700000000459e-05 × 6371000     		dr = 350.850970000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26576217--0.26566630) × cos(0.95893487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574392206092886 × 6371000     		do = 350.831734664847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26576217--0.26566630) × cos(0.95887980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57443728443517 × 6371000     		du = 350.859267965005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95893487)-sin(0.95887980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574392206092886-0.57443728443517)×R²
    abs(-0.26566630--0.26576217)×4.50783422836221e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50783422836221e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50783422836221e-05×40589641000000     		ar = 123094.484487336m²