Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29995 / 43053
↖ ↑ ↗
← S 49.084660°
W 15.232544°		 ← 400.07 m → S 49.084660°
W 15.227051°		 →
↑
400.04 m
↓
↑
400.04 m
↓
S 49.088258°
W 15.232544°		 ← 400.04 m →
160 037 m²		 S 49.088258°
W 15.227051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457695007324219 y=0.656944274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457695007324219 × 216)
    floor (0.457695007324219 × 65536)
    floor (29995.5)     		tx = 29995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656944274902344 × 216)
    floor (0.656944274902344 × 65536)
    floor (43053.5)     		ty = 43053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29995 / 43053 ti = "16/29995/43053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29995/43053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29995 ÷ 216
    29995 ÷ 65536     		x = 0.457687377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43053 ÷ 216
    43053 ÷ 65536     		y = 0.656936645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457687377929688 × 2 - 1) × π
    -0.084625244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26585805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656936645507812 × 2 - 1) × π
    -0.313873291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.986062025184555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26585805} λ = -0.26585805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986062025184555))-π/2
    2×atan(0.373042835598803)-π/2
    2×0.357053697008051-π/2
    0.714107394016101-1.57079632675     		φ = -0.85668893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26585805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.232544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85668893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.084660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29995 KachelY 43053 -0.26585805 -0.85668893 -15.232544 -49.084660
    Oben rechts KachelX + 1 29996 KachelY 43053 -0.26576217 -0.85668893 -15.227051 -49.084660
    Unten links KachelX 29995 KachelY + 1 43054 -0.26585805 -0.85675172 -15.232544 -49.088258
    Unten rechts KachelX + 1 29996 KachelY + 1 43054 -0.26576217 -0.85675172 -15.227051 -49.088258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85668893--0.85675172) × R
    6.27899999999793e-05 × 6371000     		dl = 400.035089999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85668893--0.85675172) × R
    6.27899999999793e-05 × 6371000     		dr = 400.035089999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26585805--0.26576217) × cos(-0.85668893) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.654943156960932 × 6371000     		do = 400.072996745427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26585805--0.26576217) × cos(-0.85675172) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.654895706639058 × 6371000     		du = 400.044011646084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85668893)-sin(-0.85675172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654943156960932-0.654895706639058)×R²
    abs(-0.26576217--0.26585805)×4.74503218740319e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74503218740319e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74503218740319e-05×40589641000000     		ar = 160037.439783604m²