Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29993 / 41323
↖ ↑ ↗
← S 42.468045°
W 15.243530°		 ← 450.55 m → S 42.468045°
W 15.238037°		 →
↑
450.56 m
↓
↑
450.56 m
↓
S 42.472097°
W 15.243530°		 ← 450.52 m →
202 992 m²		 S 42.472097°
W 15.238037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457664489746094 y=0.630546569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457664489746094 × 216)
    floor (0.457664489746094 × 65536)
    floor (29993.5)     		tx = 29993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630546569824219 × 216)
    floor (0.630546569824219 × 65536)
    floor (41323.5)     		ty = 41323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29993 / 41323 ti = "16/29993/41323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29993/41323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29993 ÷ 216
    29993 ÷ 65536     		x = 0.457656860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41323 ÷ 216
    41323 ÷ 65536     		y = 0.630538940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457656860351562 × 2 - 1) × π
    -0.084686279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26604979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630538940429688 × 2 - 1) × π
    -0.261077880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.820200352499161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26604979} λ = -0.26604979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820200352499161))-π/2
    2×atan(0.44034342176243)-π/2
    2×0.41479455746219-π/2
    0.829589114924379-1.57079632675     		φ = -0.74120721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26604979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.243530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74120721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.468045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29993 KachelY 41323 -0.26604979 -0.74120721 -15.243530 -42.468045
    Oben rechts KachelX + 1 29994 KachelY 41323 -0.26595392 -0.74120721 -15.238037 -42.468045
    Unten links KachelX 29993 KachelY + 1 41324 -0.26604979 -0.74127793 -15.243530 -42.472097
    Unten rechts KachelX + 1 29994 KachelY + 1 41324 -0.26595392 -0.74127793 -15.238037 -42.472097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74120721--0.74127793) × R
    7.07199999999686e-05 × 6371000     		dl = 450.5571199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74120721--0.74127793) × R
    7.07199999999686e-05 × 6371000     		dr = 450.5571199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26604979--0.26595392) × cos(-0.74120721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737654013711786 × 6371000     		do = 450.550050066562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26604979--0.26595392) × cos(-0.74127793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737606263214923 × 6371000     		du = 450.520884647066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74120721)-sin(-0.74127793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737654013711786-0.737606263214923)×R²
    abs(-0.26595392--0.26604979)×4.77504968634523e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77504968634523e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77504968634523e-05×40589641000000     		ar = 202991.962714388m²