Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29992 / 20746
↖ ↑ ↗
← N 54.946076°
W 15.249024°		 ← 350.84 m → N 54.946076°
W 15.243530°		 →
↑
350.85 m
↓
↑
350.85 m
↓
N 54.942921°
W 15.249024°		 ← 350.87 m →
123 098 m²		 N 54.942921°
W 15.243530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457649230957031 y=0.316566467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457649230957031 × 216)
    floor (0.457649230957031 × 65536)
    floor (29992.5)     		tx = 29992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316566467285156 × 216)
    floor (0.316566467285156 × 65536)
    floor (20746.5)     		ty = 20746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29992 / 20746 ti = "16/29992/20746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29992/20746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29992 ÷ 216
    29992 ÷ 65536     		x = 0.4576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20746 ÷ 216
    20746 ÷ 65536     		y = 0.316558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.084716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26614567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316558837890625 × 2 - 1) × π
    0.36688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15259481446463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26614567} λ = -0.26614567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15259481446463))-π/2
    2×atan(3.16639847569055)-π/2
    2×1.26489313393227-π/2
    2.52978626786454-1.57079632675     		φ = 0.95898994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26614567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.249024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95898994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.946076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29992 KachelY 20746 -0.26614567 0.95898994 -15.249024 54.946076
    Oben rechts KachelX + 1 29993 KachelY 20746 -0.26604979 0.95898994 -15.243530 54.946076
    Unten links KachelX 29992 KachelY + 1 20747 -0.26614567 0.95893487 -15.249024 54.942921
    Unten rechts KachelX + 1 29993 KachelY + 1 20747 -0.26604979 0.95893487 -15.243530 54.942921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95898994-0.95893487) × R
    5.50700000000459e-05 × 6371000     		dl = 350.850970000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95898994-0.95893487) × R
    5.50700000000459e-05 × 6371000     		dr = 350.850970000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26614567--0.26604979) × cos(0.95898994) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.57434712600864 × 6371000     		do = 350.840791956098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26614567--0.26604979) × cos(0.95893487) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.574392206092886 × 6371000     		du = 350.868329192277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95898994)-sin(0.95893487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57434712600864-0.574392206092886)×R²
    abs(-0.26604979--0.26614567)×4.50800842456411e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50800842456411e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50800842456411e-05×40589641000000     		ar = 123097.662937977m²