Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29991 / 29875
↖ ↑ ↗
← S 81.392584°
E149.490967°		 ← 182.83 m → S 81.392584°
E149.501953°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
S 81.394229°
E149.490967°		 ← 182.80 m →
33 428 m²		 S 81.394229°
E149.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915267944335938 y=0.911727905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915267944335938 × 215)
    floor (0.915267944335938 × 32768)
    floor (29991.5)     		tx = 29991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911727905273438 × 215)
    floor (0.911727905273438 × 32768)
    floor (29875.5)     		ty = 29875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29991 / 29875 ti = "15/29991/29875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29991/29875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29991 ÷ 215
    29991 ÷ 32768     		x = 0.915252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29875 ÷ 215
    29875 ÷ 32768     		y = 0.911712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915252685546875 × 2 - 1) × π
    0.83050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60910957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911712646484375 × 2 - 1) × π
    -0.82342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58686685109671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60910957} λ = 2.60910957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58686685109671))-π/2
    2×atan(0.0752554576482008)-π/2
    2×0.0751138716021579-π/2
    0.150227743204316-1.57079632675     		φ = -1.42056858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60910957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.490967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42056858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.392584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29991 KachelY 29875 2.60910957 -1.42056858 149.490967 -81.392584
    Oben rechts KachelX + 1 29992 KachelY 29875 2.60930132 -1.42056858 149.501953 -81.392584
    Unten links KachelX 29991 KachelY + 1 29876 2.60910957 -1.42059728 149.490967 -81.394229
    Unten rechts KachelX + 1 29992 KachelY + 1 29876 2.60930132 -1.42059728 149.501953 -81.394229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42056858--1.42059728) × R
    2.86999999998816e-05 × 6371000     		dl = 182.847699999246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42056858--1.42059728) × R
    2.86999999998816e-05 × 6371000     		dr = 182.847699999246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60910957-2.60930132) × cos(-1.42056858) × R
    0.000191749999999935 × 0.149663318039965 × 6371000     		do = 182.834583602793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60910957-2.60930132) × cos(-1.42059728) × R
    0.000191749999999935 × 0.149634941225908 × 6371000     		du = 182.79991737295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42056858)-sin(-1.42059728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149663318039965-0.149634941225908)×R²
    abs(2.60930132-2.60910957)×2.83768140574847e-05×R²
    0.000191749999999935×2.83768140574847e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.83768140574847e-05×40589641000000     		ar = 33427.7137741918m²