Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29991 / 29832
↖ ↑ ↗
← S 81.321592°
E149.490967°		 ← 184.33 m → S 81.321592°
E149.501953°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
S 81.323250°
E149.490967°		 ← 184.30 m →
33 971 m²		 S 81.323250°
E149.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915267944335938 y=0.910415649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915267944335938 × 215)
    floor (0.915267944335938 × 32768)
    floor (29991.5)     		tx = 29991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910415649414062 × 215)
    floor (0.910415649414062 × 32768)
    floor (29832.5)     		ty = 29832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29991 / 29832 ti = "15/29991/29832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29991/29832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29991 ÷ 215
    29991 ÷ 32768     		x = 0.915252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29832 ÷ 215
    29832 ÷ 32768     		y = 0.910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915252685546875 × 2 - 1) × π
    0.83050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60910957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910400390625 × 2 - 1) × π
    -0.82080078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57862170436206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60910957} λ = 2.60910957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57862170436206))-π/2
    2×atan(0.0758785150090326)-π/2
    2×0.0757333912573078-π/2
    0.151466782514616-1.57079632675     		φ = -1.41932954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60910957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.490967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41932954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.321592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29991 KachelY 29832 2.60910957 -1.41932954 149.490967 -81.321592
    Oben rechts KachelX + 1 29992 KachelY 29832 2.60930132 -1.41932954 149.501953 -81.321592
    Unten links KachelX 29991 KachelY + 1 29833 2.60910957 -1.41935847 149.490967 -81.323250
    Unten rechts KachelX + 1 29992 KachelY + 1 29833 2.60930132 -1.41935847 149.501953 -81.323250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41932954--1.41935847) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dl = 184.313030000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41932954--1.41935847) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dr = 184.313030000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60910957-2.60930132) × cos(-1.41932954) × R
    0.000191749999999935 × 0.150888287558526 × 6371000     		do = 184.33105444672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60910957-2.60930132) × cos(-1.41935847) × R
    0.000191749999999935 × 0.150859688720151 × 6371000     		du = 184.296116983256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41932954)-sin(-1.41935847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150888287558526-0.150859688720151)×R²
    abs(2.60930132-2.60910957)×2.85988383752211e-05×R²
    0.000191749999999935×2.85988383752211e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.85988383752211e-05×40589641000000     		ar = 33971.3954557325m²