Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29991 / 20745
↖ ↑ ↗
← N 54.949231°
W 15.254517°		 ← 350.78 m → N 54.949231°
W 15.249024°		 →
↑
350.79 m
↓
↑
350.79 m
↓
N 54.946076°
W 15.254517°		 ← 350.80 m →
123 053 m²		 N 54.946076°
W 15.249024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457633972167969 y=0.316551208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457633972167969 × 216)
    floor (0.457633972167969 × 65536)
    floor (29991.5)     		tx = 29991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316551208496094 × 216)
    floor (0.316551208496094 × 65536)
    floor (20745.5)     		ty = 20745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29991 / 20745 ti = "16/29991/20745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29991/20745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29991 ÷ 216
    29991 ÷ 65536     		x = 0.457626342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20745 ÷ 216
    20745 ÷ 65536     		y = 0.316543579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457626342773438 × 2 - 1) × π
    -0.084747314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26624154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316543579101562 × 2 - 1) × π
    0.366912841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15269068826387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26624154} λ = -0.26624154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15269068826387))-π/2
    2×atan(3.16670206489521)-π/2
    2×1.26492066527235-π/2
    2.5298413305447-1.57079632675     		φ = 0.95904500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26624154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.254517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95904500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.949231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29991 KachelY 20745 -0.26624154 0.95904500 -15.254517 54.949231
    Oben rechts KachelX + 1 29992 KachelY 20745 -0.26614567 0.95904500 -15.249024 54.949231
    Unten links KachelX 29991 KachelY + 1 20746 -0.26624154 0.95898994 -15.254517 54.946076
    Unten rechts KachelX + 1 29992 KachelY + 1 20746 -0.26614567 0.95898994 -15.249024 54.946076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95904500-0.95898994) × R
    5.50599999999957e-05 × 6371000     		dl = 350.787259999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95904500-0.95898994) × R
    5.50599999999957e-05 × 6371000     		dr = 350.787259999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26624154--0.26614567) × cos(0.95904500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574302052369004 × 6371000     		do = 350.77666987288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26624154--0.26614567) × cos(0.95898994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57434712600864 × 6371000     		du = 350.804200300719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95904500)-sin(0.95898994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574302052369004-0.57434712600864)×R²
    abs(-0.26614567--0.26624154)×4.50736396361284e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50736396361284e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50736396361284e-05×40589641000000     		ar = 123052.815589257m²