Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29990 / 29831
↖ ↑ ↗
← S 81.319935°
E149.479980°		 ← 184.37 m → S 81.319935°
E149.490967°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
S 81.321592°
E149.479980°		 ← 184.33 m →
33 978 m²		 S 81.321592°
E149.490967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915237426757812 y=0.910385131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915237426757812 × 215)
    floor (0.915237426757812 × 32768)
    floor (29990.5)     		tx = 29990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910385131835938 × 215)
    floor (0.910385131835938 × 32768)
    floor (29831.5)     		ty = 29831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29990 / 29831 ti = "15/29990/29831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29990/29831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29990 ÷ 215
    29990 ÷ 32768     		x = 0.91522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29831 ÷ 215
    29831 ÷ 32768     		y = 0.910369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91522216796875 × 2 - 1) × π
    0.8304443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60891782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.82073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57842995676358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60891782} λ = 2.60891782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57842995676358))-π/2
    2×atan(0.0758930659270691)-π/2
    2×0.0757478588614293-π/2
    0.151495717722859-1.57079632675     		φ = -1.41930061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60891782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.479980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41930061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.319935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29990 KachelY 29831 2.60891782 -1.41930061 149.479980 -81.319935
    Oben rechts KachelX + 1 29991 KachelY 29831 2.60910957 -1.41930061 149.490967 -81.319935
    Unten links KachelX 29990 KachelY + 1 29832 2.60891782 -1.41932954 149.479980 -81.321592
    Unten rechts KachelX + 1 29991 KachelY + 1 29832 2.60910957 -1.41932954 149.490967 -81.321592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41930061--1.41932954) × R
    2.8929999999816e-05 × 6371000     		dl = 184.313029998828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41930061--1.41932954) × R
    2.8929999999816e-05 × 6371000     		dr = 184.313029998828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60891782-2.60910957) × cos(-1.41930061) × R
    0.000191750000000379 × 0.150916886270616 × 6371000     		do = 184.365991756335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60891782-2.60910957) × cos(-1.41932954) × R
    0.000191750000000379 × 0.150888287558526 × 6371000     		du = 184.331054447147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41930061)-sin(-1.41932954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150916886270616-0.150888287558526)×R²
    abs(2.60910957-2.60891782)×2.85987120898223e-05×R²
    0.000191750000000379×2.85987120898223e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.85987120898223e-05×40589641000000     		ar = 33977.8348709122m²