Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29990 / 29500
↖ ↑ ↗
← S 80.753556°
E149.479980°		 ← 196.29 m → S 80.753556°
E149.490967°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
S 80.755322°
E149.479980°		 ← 196.26 m →
38 527 m²		 S 80.755322°
E149.490967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915237426757812 y=0.900283813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915237426757812 × 215)
    floor (0.915237426757812 × 32768)
    floor (29990.5)     		tx = 29990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900283813476562 × 215)
    floor (0.900283813476562 × 32768)
    floor (29500.5)     		ty = 29500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29990 / 29500 ti = "15/29990/29500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29990/29500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29990 ÷ 215
    29990 ÷ 32768     		x = 0.91522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29500 ÷ 215
    29500 ÷ 32768     		y = 0.9002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91522216796875 × 2 - 1) × π
    0.8304443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60891782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51496150166663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60891782} λ = 2.60891782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51496150166663))-π/2
    2×atan(0.0808660253539805)-π/2
    2×0.0806904443031874-π/2
    0.161380888606375-1.57079632675     		φ = -1.40941544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60891782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.479980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40941544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.753556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29990 KachelY 29500 2.60891782 -1.40941544 149.479980 -80.753556
    Oben rechts KachelX + 1 29991 KachelY 29500 2.60910957 -1.40941544 149.490967 -80.753556
    Unten links KachelX 29990 KachelY + 1 29501 2.60891782 -1.40944625 149.479980 -80.755322
    Unten rechts KachelX + 1 29991 KachelY + 1 29501 2.60910957 -1.40944625 149.490967 -80.755322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40941544--1.40944625) × R
    3.08099999999367e-05 × 6371000     		dl = 196.290509999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40941544--1.40944625) × R
    3.08099999999367e-05 × 6371000     		dr = 196.290509999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60891782-2.60910957) × cos(-1.40941544) × R
    0.000191750000000379 × 0.160681303402365 × 6371000     		do = 196.294586977875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60891782-2.60910957) × cos(-1.40944625) × R
    0.000191750000000379 × 0.160650893660715 × 6371000     		du = 196.257437243894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40941544)-sin(-1.40944625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160681303402365-0.160650893660715)×R²
    abs(2.60910957-2.60891782)×3.04097416495841e-05×R²
    0.000191750000000379×3.04097416495841e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.04097416495841e-05×40589641000000     		ar = 38527.1185209006m²