Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29990 / 15593
↖ ↑ ↗
← N 68.185849°
W 15.260010°		 ← 226.97 m → N 68.185849°
W 15.254517°		 →
↑
227 m
↓
↑
227 m
↓
N 68.183807°
W 15.260010°		 ← 226.99 m →
51 524 m²		 N 68.183807°
W 15.254517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457618713378906 y=0.237937927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457618713378906 × 216)
    floor (0.457618713378906 × 65536)
    floor (29990.5)     		tx = 29990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237937927246094 × 216)
    floor (0.237937927246094 × 65536)
    floor (15593.5)     		ty = 15593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29990 / 15593 ti = "16/29990/15593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29990/15593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29990 ÷ 216
    29990 ÷ 65536     		x = 0.457611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15593 ÷ 216
    15593 ÷ 65536     		y = 0.237930297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.08477783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26633741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237930297851562 × 2 - 1) × π
    0.524139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64663250194893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26633741} λ = -0.26633741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64663250194893))-π/2
    2×atan(5.18947482333531)-π/2
    2×1.38043194186107-π/2
    2.76086388372215-1.57079632675     		φ = 1.19006756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26633741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.260010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19006756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.185849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29990 KachelY 15593 -0.26633741 1.19006756 -15.260010 68.185849
    Oben rechts KachelX + 1 29991 KachelY 15593 -0.26624154 1.19006756 -15.254517 68.185849
    Unten links KachelX 29990 KachelY + 1 15594 -0.26633741 1.19003193 -15.260010 68.183807
    Unten rechts KachelX + 1 29991 KachelY + 1 15594 -0.26624154 1.19003193 -15.254517 68.183807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19006756-1.19003193) × R
    3.56299999999532e-05 × 6371000     		dl = 226.998729999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19006756-1.19003193) × R
    3.56299999999532e-05 × 6371000     		dr = 226.998729999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26633741--0.26624154) × cos(1.19006756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37159715080496 × 6371000     		do = 226.96699507851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26633741--0.26624154) × cos(1.19003193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371630229249955 × 6371000     		du = 226.987198988164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19006756)-sin(1.19003193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37159715080496-0.371630229249955)×R²
    abs(-0.26624154--0.26633741)×3.30784449956156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30784449956156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30784449956156e-05×40589641000000     		ar = 51523.5127708315m²