Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29989 / 29874
↖ ↑ ↗
← S 81.390940°
E149.468994°		 ← 182.86 m → S 81.390940°
E149.479980°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
S 81.392584°
E149.468994°		 ← 182.83 m →
33 432 m²		 S 81.392584°
E149.479980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915206909179688 y=0.911697387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915206909179688 × 215)
    floor (0.915206909179688 × 32768)
    floor (29989.5)     		tx = 29989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911697387695312 × 215)
    floor (0.911697387695312 × 32768)
    floor (29874.5)     		ty = 29874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29989 / 29874 ti = "15/29989/29874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29989/29874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29989 ÷ 215
    29989 ÷ 32768     		x = 0.915191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29874 ÷ 215
    29874 ÷ 32768     		y = 0.91168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915191650390625 × 2 - 1) × π
    0.83038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60872608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.8233642578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58667510349823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60872608} λ = 2.60872608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58667510349823))-π/2
    2×atan(0.0752698890850298)-π/2
    2×0.0751282217529878-π/2
    0.150256443505976-1.57079632675     		φ = -1.42053988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60872608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.468994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42053988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.390940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29989 KachelY 29874 2.60872608 -1.42053988 149.468994 -81.390940
    Oben rechts KachelX + 1 29990 KachelY 29874 2.60891782 -1.42053988 149.479980 -81.390940
    Unten links KachelX 29989 KachelY + 1 29875 2.60872608 -1.42056858 149.468994 -81.392584
    Unten rechts KachelX + 1 29990 KachelY + 1 29875 2.60891782 -1.42056858 149.479980 -81.392584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42053988--1.42056858) × R
    2.87000000001036e-05 × 6371000     		dl = 182.84770000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42053988--1.42056858) × R
    2.87000000001036e-05 × 6371000     		dr = 182.84770000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60872608-2.60891782) × cos(-1.42053988) × R
    0.000191739999999996 × 0.149691694730747 × 6371000     		do = 182.859712824223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60872608-2.60891782) × cos(-1.42056858) × R
    0.000191739999999996 × 0.149663318039965 × 6371000     		du = 182.825048552858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42053988)-sin(-1.42056858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149691694730747-0.149663318039965)×R²
    abs(2.60891782-2.60872608)×2.83766907815397e-05×R²
    0.000191739999999996×2.83766907815397e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.83766907815397e-05×40589641000000     		ar = 33432.3087733123m²