Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29989 / 21799
↖ ↑ ↗
← N 75.990186°
W 97.632751°		 ← 73.94 m → N 75.990186°
W 97.630005°		 →
↑
73.97 m
↓
↑
73.97 m
↓
N 75.989521°
W 97.632751°		 ← 73.94 m →
5 469 m²		 N 75.989521°
W 97.630005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228801727294922 y=0.166316986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228801727294922 × 217)
    floor (0.228801727294922 × 131072)
    floor (29989.5)     		tx = 29989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166316986083984 × 217)
    floor (0.166316986083984 × 131072)
    floor (21799.5)     		ty = 21799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29989 / 21799 ti = "17/29989/21799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29989/21799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29989 ÷ 217
    29989 ÷ 131072     		x = 0.228797912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21799 ÷ 217
    21799 ÷ 131072     		y = 0.166313171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228797912597656 × 2 - 1) × π
    -0.542404174804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.70401297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166313171386719 × 2 - 1) × π
    0.667373657226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.0966161786824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70401297} λ = -1.70401297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0966161786824))-π/2
    2×atan(8.13858375237515)-π/2
    2×1.4485376314073-π/2
    2.8970752628146-1.57079632675     		φ = 1.32627894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70401297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.632751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32627894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.990186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29989 KachelY 21799 -1.70401297 1.32627894 -97.632751 75.990186
    Oben rechts KachelX + 1 29990 KachelY 21799 -1.70396503 1.32627894 -97.630005 75.990186
    Unten links KachelX 29989 KachelY + 1 21800 -1.70401297 1.32626733 -97.632751 75.989521
    Unten rechts KachelX + 1 29990 KachelY + 1 21800 -1.70396503 1.32626733 -97.630005 75.989521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32627894-1.32626733) × R
    1.16099999998287e-05 × 6371000     		dl = 73.9673099989087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32627894-1.32626733) × R
    1.16099999998287e-05 × 6371000     		dr = 73.9673099989087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70401297--1.70396503) × cos(1.32627894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242088095475388 × 6371000     		do = 73.9399357057125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70401297--1.70396503) × cos(1.32626733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24209936011118 × 6371000     		du = 73.9433762154351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32627894)-sin(1.32626733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242088095475388-0.24209936011118)×R²
    abs(-1.70396503--1.70401297)×1.12646357918744e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12646357918744e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12646357918744e-05×40589641000000     		ar = 5469.2653882825m²