Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29989 / 19879
↖ ↑ ↗
← N 57.589503°
W 15.265503°		 ← 327.41 m → N 57.589503°
W 15.260010°		 →
↑
327.41 m
↓
↑
327.41 m
↓
N 57.586559°
W 15.265503°		 ← 327.43 m →
107 199 m²		 N 57.586559°
W 15.260010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457603454589844 y=0.303337097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457603454589844 × 216)
    floor (0.457603454589844 × 65536)
    floor (29989.5)     		tx = 29989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303337097167969 × 216)
    floor (0.303337097167969 × 65536)
    floor (19879.5)     		ty = 19879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29989 / 19879 ti = "16/29989/19879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29989/19879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29989 ÷ 216
    29989 ÷ 65536     		x = 0.457595825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19879 ÷ 216
    19879 ÷ 65536     		y = 0.303329467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457595825195312 × 2 - 1) × π
    -0.084808349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26643329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303329467773438 × 2 - 1) × π
    0.393341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23571739840581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26643329} λ = -0.26643329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23571739840581))-π/2
    2×atan(3.44084609298482)-π/2
    2×1.28796138627172-π/2
    2.57592277254345-1.57079632675     		φ = 1.00512645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26643329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.265503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00512645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.589503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29989 KachelY 19879 -0.26643329 1.00512645 -15.265503 57.589503
    Oben rechts KachelX + 1 29990 KachelY 19879 -0.26633741 1.00512645 -15.260010 57.589503
    Unten links KachelX 29989 KachelY + 1 19880 -0.26643329 1.00507506 -15.265503 57.586559
    Unten rechts KachelX + 1 29990 KachelY + 1 19880 -0.26633741 1.00507506 -15.260010 57.586559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00512645-1.00507506) × R
    5.13899999998735e-05 × 6371000     		dl = 327.405689999194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00512645-1.00507506) × R
    5.13899999998735e-05 × 6371000     		dr = 327.405689999194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26643329--0.26633741) × cos(1.00512645) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.535981466143646 × 6371000     		do = 327.405071846391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26643329--0.26633741) × cos(1.00507506) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.536024850402647 × 6371000     		du = 327.431573185211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00512645)-sin(1.00507506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535981466143646-0.536024850402647)×R²
    abs(-0.26633741--0.26643329)×4.33842590017441e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33842590017441e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33842590017441e-05×40589641000000     		ar = 107198.621825178m²