Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29987 / 29628
↖ ↑ ↗
← S 80.976799°
E149.447021°		 ← 191.60 m → S 80.976799°
E149.458008°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
S 80.978522°
E149.447021°		 ← 191.56 m →
36 702 m²		 S 80.978522°
E149.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915145874023438 y=0.904190063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915145874023438 × 215)
    floor (0.915145874023438 × 32768)
    floor (29987.5)     		tx = 29987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904190063476562 × 215)
    floor (0.904190063476562 × 32768)
    floor (29628.5)     		ty = 29628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29987 / 29628 ti = "15/29987/29628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29987/29628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29987 ÷ 215
    29987 ÷ 32768     		x = 0.915130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29628 ÷ 215
    29628 ÷ 32768     		y = 0.9041748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915130615234375 × 2 - 1) × π
    0.83026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60834258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.808349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53950519427209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60834258} λ = 2.60834258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53950519427209))-π/2
    2×atan(0.0789054329931603)-π/2
    2×0.0787422851756005-π/2
    0.157484570351201-1.57079632675     		φ = -1.41331176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60834258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.447021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41331176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.976799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29987 KachelY 29628 2.60834258 -1.41331176 149.447021 -80.976799
    Oben rechts KachelX + 1 29988 KachelY 29628 2.60853433 -1.41331176 149.458008 -80.976799
    Unten links KachelX 29987 KachelY + 1 29629 2.60834258 -1.41334183 149.447021 -80.978522
    Unten rechts KachelX + 1 29988 KachelY + 1 29629 2.60853433 -1.41334183 149.458008 -80.978522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41331176--1.41334183) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41331176--1.41334183) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60834258-2.60853433) × cos(-1.41331176) × R
    0.000191749999999935 × 0.15683440090839 × 6371000     		do = 191.59505989986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60834258-2.60853433) × cos(-1.41334183) × R
    0.000191749999999935 × 0.156804702956326 × 6371000     		du = 191.558779715974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41331176)-sin(-1.41334183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15683440090839-0.156804702956326)×R²
    abs(2.60853433-2.60834258)×2.96979520637564e-05×R²
    0.000191749999999935×2.96979520637564e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.96979520637564e-05×40589641000000     		ar = 36701.5342449168m²