Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29986 / 20789
↖ ↑ ↗
← N 54.810183°
W 15.281982°		 ← 351.99 m → N 54.810183°
W 15.276490°		 →
↑
352.06 m
↓
↑
352.06 m
↓
N 54.807017°
W 15.281982°		 ← 352.02 m →
123 927 m²		 N 54.807017°
W 15.276490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457557678222656 y=0.317222595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457557678222656 × 216)
    floor (0.457557678222656 × 65536)
    floor (29986.5)     		tx = 29986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317222595214844 × 216)
    floor (0.317222595214844 × 65536)
    floor (20789.5)     		ty = 20789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29986 / 20789 ti = "16/29986/20789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29986/20789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29986 ÷ 216
    29986 ÷ 65536     		x = 0.457550048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20789 ÷ 216
    20789 ÷ 65536     		y = 0.317214965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457550048828125 × 2 - 1) × π
    -0.08489990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26672091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317214965820312 × 2 - 1) × π
    0.365570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14847224109731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26672091} λ = -0.26672091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14847224109731))-π/2
    2×atan(3.15337163616509)-π/2
    2×1.26370724101773-π/2
    2.52741448203546-1.57079632675     		φ = 0.95661816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26672091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.281982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95661816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.810183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29986 KachelY 20789 -0.26672091 0.95661816 -15.281982 54.810183
    Oben rechts KachelX + 1 29987 KachelY 20789 -0.26662504 0.95661816 -15.276490 54.810183
    Unten links KachelX 29986 KachelY + 1 20790 -0.26672091 0.95656290 -15.281982 54.807017
    Unten rechts KachelX + 1 29987 KachelY + 1 20790 -0.26662504 0.95656290 -15.276490 54.807017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95661816-0.95656290) × R
    5.52600000000014e-05 × 6371000     		dl = 352.061460000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95661816-0.95656290) × R
    5.52600000000014e-05 × 6371000     		dr = 352.061460000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26672091--0.26662504) × cos(0.95661816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576287075979535 × 6371000     		do = 351.989098017353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26672091--0.26662504) × cos(0.95656290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576332236187332 × 6371000     		du = 352.016681319966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95661816)-sin(0.95656290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576287075979535-0.576332236187332)×R²
    abs(-0.26662504--0.26672091)×4.51602077974345e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51602077974345e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51602077974345e-05×40589641000000     		ar = 123926.651292569m²