Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29985 / 29631
↖ ↑ ↗
← S 80.981966°
E149.425049°		 ← 191.48 m → S 80.981966°
E149.436035°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
S 80.983688°
E149.425049°		 ← 191.44 m →
36 654 m²		 S 80.983688°
E149.436035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915084838867188 y=0.904281616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915084838867188 × 215)
    floor (0.915084838867188 × 32768)
    floor (29985.5)     		tx = 29985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904281616210938 × 215)
    floor (0.904281616210938 × 32768)
    floor (29631.5)     		ty = 29631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29985 / 29631 ti = "15/29985/29631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29985/29631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29985 ÷ 215
    29985 ÷ 32768     		x = 0.915069580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29631 ÷ 215
    29631 ÷ 32768     		y = 0.904266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915069580078125 × 2 - 1) × π
    0.83013916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60795909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.80853271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54008043706754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60795909} λ = 2.60795909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54008043706754))-π/2
    2×atan(0.0788600562638795)-π/2
    2×0.0786971890563609-π/2
    0.157394378112722-1.57079632675     		φ = -1.41340195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60795909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.425049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41340195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.981966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29985 KachelY 29631 2.60795909 -1.41340195 149.425049 -80.981966
    Oben rechts KachelX + 1 29986 KachelY 29631 2.60815083 -1.41340195 149.436035 -80.981966
    Unten links KachelX 29985 KachelY + 1 29632 2.60795909 -1.41343200 149.425049 -80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 29986 KachelY + 1 29632 2.60815083 -1.41343200 149.436035 -80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41340195--1.41343200) × R
    3.00500000001147e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41340195--1.41343200) × R
    3.00500000001147e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60795909-2.60815083) × cos(-1.41340195) × R
    0.000191739999999996 × 0.156745326379656 × 6371000     		do = 191.4762567147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60795909-2.60815083) × cos(-1.41343200) × R
    0.000191739999999996 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 191.440002033116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41340195)-sin(-1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156745326379656-0.156715647755291)×R²
    abs(2.60815083-2.60795909)×2.96786243645097e-05×R²
    0.000191739999999996×2.96786243645097e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.96786243645097e-05×40589641000000     		ar = 36654.3812572886m²