Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29985 / 27946
↖ ↑ ↗
← N 25.591994°
W 15.287475°		 ← 550.87 m → N 25.591994°
W 15.281982°		 →
↑
550.90 m
↓
↑
550.90 m
↓
N 25.587040°
W 15.287475°		 ← 550.89 m →
303 478 m²		 N 25.587040°
W 15.281982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457542419433594 y=0.426429748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457542419433594 × 216)
    floor (0.457542419433594 × 65536)
    floor (29985.5)     		tx = 29985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426429748535156 × 216)
    floor (0.426429748535156 × 65536)
    floor (27946.5)     		ty = 27946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29985 / 27946 ti = "16/29985/27946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29985/27946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29985 ÷ 216
    29985 ÷ 65536     		x = 0.457534790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27946 ÷ 216
    27946 ÷ 65536     		y = 0.426422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457534790039062 × 2 - 1) × π
    -0.084930419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26681678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426422119140625 × 2 - 1) × π
    0.14715576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.462303459935822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26681678} λ = -0.26681678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462303459935822))-π/2
    2×atan(1.58772704167391)-π/2
    2×1.00873044368983-π/2
    2.01746088737965-1.57079632675     		φ = 0.44666456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26681678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.287475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44666456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.591994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29985 KachelY 27946 -0.26681678 0.44666456 -15.287475 25.591994
    Oben rechts KachelX + 1 29986 KachelY 27946 -0.26672091 0.44666456 -15.281982 25.591994
    Unten links KachelX 29985 KachelY + 1 27947 -0.26681678 0.44657809 -15.287475 25.587040
    Unten rechts KachelX + 1 29986 KachelY + 1 27947 -0.26672091 0.44657809 -15.281982 25.587040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44666456-0.44657809) × R
    8.64700000000052e-05 × 6371000     		dl = 550.900370000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44666456-0.44657809) × R
    8.64700000000052e-05 × 6371000     		dr = 550.900370000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26681678--0.26672091) × cos(0.44666456) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901892892299312 × 6371000     		do = 550.865148466335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26681678--0.26672091) × cos(0.44657809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901930240485613 × 6371000     		du = 550.887960281759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44666456)-sin(0.44657809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901892892299312-0.901930240485613)×R²
    abs(-0.26672091--0.26681678)×3.73481863006342e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73481863006342e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73481863006342e-05×40589641000000     		ar = 303478.097818094m²