Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29985 / 20901
↖ ↑ ↗
← N 54.454073°
W 15.287475°		 ← 355.08 m → N 54.454073°
W 15.281982°		 →
↑
355.12 m
↓
↑
355.12 m
↓
N 54.450880°
W 15.287475°		 ← 355.11 m →
126 102 m²		 N 54.450880°
W 15.281982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457542419433594 y=0.318931579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457542419433594 × 216)
    floor (0.457542419433594 × 65536)
    floor (29985.5)     		tx = 29985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318931579589844 × 216)
    floor (0.318931579589844 × 65536)
    floor (20901.5)     		ty = 20901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29985 / 20901 ti = "16/29985/20901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29985/20901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29985 ÷ 216
    29985 ÷ 65536     		x = 0.457534790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20901 ÷ 216
    20901 ÷ 65536     		y = 0.318923950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457534790039062 × 2 - 1) × π
    -0.084930419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26681678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318923950195312 × 2 - 1) × π
    0.362152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13773437558241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26681678} λ = -0.26681678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13773437558241))-π/2
    2×atan(3.11969230130822)-π/2
    2×1.26059959871178-π/2
    2.52119919742356-1.57079632675     		φ = 0.95040287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26681678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.287475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95040287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.454073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29985 KachelY 20901 -0.26681678 0.95040287 -15.287475 54.454073
    Oben rechts KachelX + 1 29986 KachelY 20901 -0.26672091 0.95040287 -15.281982 54.454073
    Unten links KachelX 29985 KachelY + 1 20902 -0.26681678 0.95034713 -15.287475 54.450880
    Unten rechts KachelX + 1 29986 KachelY + 1 20902 -0.26672091 0.95034713 -15.281982 54.450880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95040287-0.95034713) × R
    5.57399999999708e-05 × 6371000     		dl = 355.119539999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95040287-0.95034713) × R
    5.57399999999708e-05 × 6371000     		dr = 355.119539999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26681678--0.26672091) × cos(0.95040287) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581355341563519 × 6371000     		do = 355.084732651162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26681678--0.26672091) × cos(0.95034713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581400693499193 × 6371000     		du = 355.112433058818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95040287)-sin(0.95034713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581355341563519-0.581400693499193)×R²
    abs(-0.26672091--0.26681678)×4.53519356735654e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53519356735654e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53519356735654e-05×40589641000000     		ar = 126102.445430549m²