Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29985 / 20786
↖ ↑ ↗
← N 54.819679°
W 15.287475°		 ← 351.91 m → N 54.819679°
W 15.281982°		 →
↑
351.93 m
↓
↑
351.93 m
↓
N 54.816514°
W 15.287475°		 ← 351.93 m →
123 853 m²		 N 54.816514°
W 15.281982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457542419433594 y=0.317176818847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457542419433594 × 216)
    floor (0.457542419433594 × 65536)
    floor (29985.5)     		tx = 29985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317176818847656 × 216)
    floor (0.317176818847656 × 65536)
    floor (20786.5)     		ty = 20786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29985 / 20786 ti = "16/29985/20786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29985/20786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29985 ÷ 216
    29985 ÷ 65536     		x = 0.457534790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20786 ÷ 216
    20786 ÷ 65536     		y = 0.317169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457534790039062 × 2 - 1) × π
    -0.084930419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26681678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317169189453125 × 2 - 1) × π
    0.36566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14875986249503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26681678} λ = -0.26681678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14875986249503))-π/2
    2×atan(3.15427874376814)-π/2
    2×1.26379010752546-π/2
    2.52758021505092-1.57079632675     		φ = 0.95678389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26681678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.287475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95678389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.819679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29985 KachelY 20786 -0.26681678 0.95678389 -15.287475 54.819679
    Oben rechts KachelX + 1 29986 KachelY 20786 -0.26672091 0.95678389 -15.281982 54.819679
    Unten links KachelX 29985 KachelY + 1 20787 -0.26681678 0.95672865 -15.287475 54.816514
    Unten rechts KachelX + 1 29986 KachelY + 1 20787 -0.26672091 0.95672865 -15.281982 54.816514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95678389-0.95672865) × R
    5.52400000000119e-05 × 6371000     		dl = 351.934040000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95678389-0.95672865) × R
    5.52400000000119e-05 × 6371000     		dr = 351.934040000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26681678--0.26672091) × cos(0.95678389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576151625665101 × 6371000     		do = 351.906366621854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26681678--0.26672091) × cos(0.95672865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576196774804041 × 6371000     		du = 351.933943163744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95678389)-sin(0.95672865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576151625665101-0.576196774804041)×R²
    abs(-0.26672091--0.26681678)×4.51491389392711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51491389392711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51491389392711e-05×40589641000000     		ar = 123852.681900417m²