Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29984 / 29372
↖ ↑ ↗
← S 80.524840°
E149.414063°		 ← 201.11 m → S 80.524840°
E149.425049°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
S 80.526648°
E149.414063°		 ← 201.07 m →
40 432 m²		 S 80.526648°
E149.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915054321289062 y=0.896377563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915054321289062 × 215)
    floor (0.915054321289062 × 32768)
    floor (29984.5)     		tx = 29984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896377563476562 × 215)
    floor (0.896377563476562 × 32768)
    floor (29372.5)     		ty = 29372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29984 / 29372 ti = "15/29984/29372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29984/29372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29984 ÷ 215
    29984 ÷ 32768     		x = 0.9150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29372 ÷ 215
    29372 ÷ 32768     		y = 0.8963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9150390625 × 2 - 1) × π
    0.830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60776734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49041780906116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60776734} λ = 2.60776734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49041780906116))-π/2
    2×atan(0.0828753332754344)-π/2
    2×0.0826863732422862-π/2
    0.165372746484572-1.57079632675     		φ = -1.40542358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60776734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40542358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.524840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29984 KachelY 29372 2.60776734 -1.40542358 149.414063 -80.524840
    Oben rechts KachelX + 1 29985 KachelY 29372 2.60795909 -1.40542358 149.425049 -80.524840
    Unten links KachelX 29984 KachelY + 1 29373 2.60776734 -1.40545514 149.414063 -80.526648
    Unten rechts KachelX + 1 29985 KachelY + 1 29373 2.60795909 -1.40545514 149.425049 -80.526648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40542358--1.40545514) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dl = 201.068760000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40542358--1.40545514) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dr = 201.068760000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60776734-2.60795909) × cos(-1.40542358) × R
    0.000191749999999935 × 0.164620003851726 × 6371000     		do = 201.106258040351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60776734-2.60795909) × cos(-1.40545514) × R
    0.000191749999999935 × 0.164588874340861 × 6371000     		du = 201.068229008046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40542358)-sin(-1.40545514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164620003851726-0.164588874340861)×R²
    abs(2.60795909-2.60776734)×3.11295108643139e-05×R²
    0.000191749999999935×3.11295108643139e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.11295108643139e-05×40589641000000     		ar = 40432.3627104621m²