Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29984 / 20752
↖ ↑ ↗
← N 54.927142°
W 15.292969°		 ← 351.01 m → N 54.927142°
W 15.287475°		 →
↑
350.98 m
↓
↑
350.98 m
↓
N 54.923985°
W 15.292969°		 ← 351.03 m →
123 200 m²		 N 54.923985°
W 15.287475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457527160644531 y=0.316658020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457527160644531 × 216)
    floor (0.457527160644531 × 65536)
    floor (29984.5)     		tx = 29984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316658020019531 × 216)
    floor (0.316658020019531 × 65536)
    floor (20752.5)     		ty = 20752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29984 / 20752 ti = "16/29984/20752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29984/20752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29984 ÷ 216
    29984 ÷ 65536     		x = 0.45751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20752 ÷ 216
    20752 ÷ 65536     		y = 0.316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26691266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316650390625 × 2 - 1) × π
    0.36669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15201957166919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26691266} λ = -0.26691266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15201957166919))-π/2
    2×atan(3.16457755156687)-π/2
    2×1.26472790051116-π/2
    2.52945580102233-1.57079632675     		φ = 0.95865947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26691266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95865947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.927142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29984 KachelY 20752 -0.26691266 0.95865947 -15.292969 54.927142
    Oben rechts KachelX + 1 29985 KachelY 20752 -0.26681678 0.95865947 -15.287475 54.927142
    Unten links KachelX 29984 KachelY + 1 20753 -0.26691266 0.95860438 -15.292969 54.923985
    Unten rechts KachelX + 1 29985 KachelY + 1 20753 -0.26681678 0.95860438 -15.287475 54.923985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95865947-0.95860438) × R
    5.50899999999244e-05 × 6371000     		dl = 350.978389999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95865947-0.95860438) × R
    5.50899999999244e-05 × 6371000     		dr = 350.978389999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26691266--0.26681678) × cos(0.95865947) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.57461762130305 × 6371000     		do = 351.006024407224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26691266--0.26681678) × cos(0.95860438) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.574662707299698 × 6371000     		du = 351.033565255004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95865947)-sin(0.95860438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57461762130305-0.574662707299698)×R²
    abs(-0.26681678--0.26691266)×4.50859966476536e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.50859966476536e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.50859966476536e-05×40589641000000     		ar = 123200.362478828m²