Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29983 / 29383
↖ ↑ ↗
← S 80.544713°
E149.403076°		 ← 200.69 m → S 80.544713°
E149.414063°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
S 80.546518°
E149.403076°		 ← 200.65 m →
40 272 m²		 S 80.546518°
E149.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915023803710938 y=0.896713256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915023803710938 × 215)
    floor (0.915023803710938 × 32768)
    floor (29983.5)     		tx = 29983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896713256835938 × 215)
    floor (0.896713256835938 × 32768)
    floor (29383.5)     		ty = 29383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29983 / 29383 ti = "15/29983/29383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29983/29383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29983 ÷ 215
    29983 ÷ 32768     		x = 0.915008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29383 ÷ 215
    29383 ÷ 32768     		y = 0.896697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915008544921875 × 2 - 1) × π
    0.83001708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60757559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896697998046875 × 2 - 1) × π
    -0.79339599609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49252703264444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60757559} λ = 2.60757559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49252703264444))-π/2
    2×atan(0.0827007148873657)-π/2
    2×0.0825129435171699-π/2
    0.16502588703434-1.57079632675     		φ = -1.40577044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60757559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.403076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40577044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.544713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29983 KachelY 29383 2.60757559 -1.40577044 149.403076 -80.544713
    Oben rechts KachelX + 1 29984 KachelY 29383 2.60776734 -1.40577044 149.414063 -80.544713
    Unten links KachelX 29983 KachelY + 1 29384 2.60757559 -1.40580194 149.403076 -80.546518
    Unten rechts KachelX + 1 29984 KachelY + 1 29384 2.60776734 -1.40580194 149.414063 -80.546518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40577044--1.40580194) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40577044--1.40580194) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60757559-2.60776734) × cos(-1.40577044) × R
    0.000191749999999935 × 0.16427786614509 × 6371000     		do = 200.688289189021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60757559-2.60776734) × cos(-1.40580194) × R
    0.000191749999999935 × 0.164246794019347 × 6371000     		du = 200.650330260632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40577044)-sin(-1.40580194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16427786614509-0.164246794019347)×R²
    abs(2.60776734-2.60757559)×3.10721257432423e-05×R²
    0.000191749999999935×3.10721257432423e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.10721257432423e-05×40589641000000     		ar = 40271.6214298888m²