Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29983 / 20790
↖ ↑ ↗
← N 54.807017°
W 15.298462°		 ← 352.02 m → N 54.807017°
W 15.292969°		 →
↑
352.06 m
↓
↑
352.06 m
↓
N 54.803851°
W 15.298462°		 ← 352.04 m →
123 936 m²		 N 54.803851°
W 15.292969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457511901855469 y=0.317237854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457511901855469 × 216)
    floor (0.457511901855469 × 65536)
    floor (29983.5)     		tx = 29983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317237854003906 × 216)
    floor (0.317237854003906 × 65536)
    floor (20790.5)     		ty = 20790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29983 / 20790 ti = "16/29983/20790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29983/20790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29983 ÷ 216
    29983 ÷ 65536     		x = 0.457504272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20790 ÷ 216
    20790 ÷ 65536     		y = 0.317230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457504272460938 × 2 - 1) × π
    -0.084991455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26700853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317230224609375 × 2 - 1) × π
    0.36553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14837636729807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26700853} λ = -0.26700853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14837636729807))-π/2
    2×atan(3.15306932493801)-π/2
    2×1.26367961451956-π/2
    2.52735922903911-1.57079632675     		φ = 0.95656290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26700853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.298462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95656290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.807017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29983 KachelY 20790 -0.26700853 0.95656290 -15.298462 54.807017
    Oben rechts KachelX + 1 29984 KachelY 20790 -0.26691266 0.95656290 -15.292969 54.807017
    Unten links KachelX 29983 KachelY + 1 20791 -0.26700853 0.95650764 -15.298462 54.803851
    Unten rechts KachelX + 1 29984 KachelY + 1 20791 -0.26691266 0.95650764 -15.292969 54.803851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95656290-0.95650764) × R
    5.52600000000014e-05 × 6371000     		dl = 352.061460000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95656290-0.95650764) × R
    5.52600000000014e-05 × 6371000     		dr = 352.061460000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26700853--0.26691266) × cos(0.95656290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576332236187332 × 6371000     		do = 352.016681319966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26700853--0.26691266) × cos(0.95650764) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576377394635202 × 6371000     		du = 352.044263547638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95656290)-sin(0.95650764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576332236187332-0.576377394635202)×R²
    abs(-0.26691266--0.26700853)×4.51584478704525e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51584478704525e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51584478704525e-05×40589641000000     		ar = 123936.362120757m²