Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29983 / 20788
↖ ↑ ↗
← N 54.813348°
W 15.298462°		 ← 351.96 m → N 54.813348°
W 15.292969°		 →
↑
351.93 m
↓
↑
351.93 m
↓
N 54.810183°
W 15.298462°		 ← 351.99 m →
123 872 m²		 N 54.810183°
W 15.292969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457511901855469 y=0.317207336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457511901855469 × 216)
    floor (0.457511901855469 × 65536)
    floor (29983.5)     		tx = 29983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317207336425781 × 216)
    floor (0.317207336425781 × 65536)
    floor (20788.5)     		ty = 20788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29983 / 20788 ti = "16/29983/20788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29983/20788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29983 ÷ 216
    29983 ÷ 65536     		x = 0.457504272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20788 ÷ 216
    20788 ÷ 65536     		y = 0.31719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457504272460938 × 2 - 1) × π
    -0.084991455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26700853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31719970703125 × 2 - 1) × π
    0.3656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14856811489655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26700853} λ = -0.26700853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14856811489655))-π/2
    2×atan(3.15367397637729)-π/2
    2×1.26373486535138-π/2
    2.52746973070277-1.57079632675     		φ = 0.95667340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26700853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.298462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95667340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.813348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29983 KachelY 20788 -0.26700853 0.95667340 -15.298462 54.813348
    Oben rechts KachelX + 1 29984 KachelY 20788 -0.26691266 0.95667340 -15.292969 54.813348
    Unten links KachelX 29983 KachelY + 1 20789 -0.26700853 0.95661816 -15.298462 54.810183
    Unten rechts KachelX + 1 29984 KachelY + 1 20789 -0.26691266 0.95661816 -15.292969 54.810183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95667340-0.95661816) × R
    5.52400000000119e-05 × 6371000     		dl = 351.934040000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95667340-0.95661816) × R
    5.52400000000119e-05 × 6371000     		dr = 351.934040000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26700853--0.26691266) × cos(0.95667340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576241930357531 × 6371000     		do = 351.961523623564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26700853--0.26691266) × cos(0.95661816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576287075979535 × 6371000     		du = 351.989098017353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95667340)-sin(0.95661816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576241930357531-0.576287075979535)×R²
    abs(-0.26691266--0.26700853)×4.51456220030844e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51456220030844e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51456220030844e-05×40589641000000     		ar = 123872.093148896m²