Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29982 / 29496
↖ ↑ ↗
← S 80.746492°
E149.392090°		 ← 196.44 m → S 80.746492°
E149.403076°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
S 80.748259°
E149.392090°		 ← 196.41 m →
38 581 m²		 S 80.748259°
E149.403076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914993286132812 y=0.900161743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914993286132812 × 215)
    floor (0.914993286132812 × 32768)
    floor (29982.5)     		tx = 29982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900161743164062 × 215)
    floor (0.900161743164062 × 32768)
    floor (29496.5)     		ty = 29496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29982 / 29496 ti = "15/29982/29496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29982/29496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29982 ÷ 215
    29982 ÷ 32768     		x = 0.91497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29496 ÷ 215
    29496 ÷ 32768     		y = 0.900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91497802734375 × 2 - 1) × π
    0.8299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60738384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.80029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51419451127271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60738384} λ = 2.60738384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51419451127271))-π/2
    2×atan(0.0809280726104046)-π/2
    2×0.0807520881418136-π/2
    0.161504176283627-1.57079632675     		φ = -1.40929215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60738384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.392090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40929215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.746492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29982 KachelY 29496 2.60738384 -1.40929215 149.392090 -80.746492
    Oben rechts KachelX + 1 29983 KachelY 29496 2.60757559 -1.40929215 149.403076 -80.746492
    Unten links KachelX 29982 KachelY + 1 29497 2.60738384 -1.40932298 149.392090 -80.748259
    Unten rechts KachelX + 1 29983 KachelY + 1 29497 2.60757559 -1.40932298 149.403076 -80.748259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40929215--1.40932298) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dl = 196.417930000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40929215--1.40932298) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dr = 196.417930000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60738384-2.60757559) × cos(-1.40929215) × R
    0.000191750000000379 × 0.160802990192724 × 6371000     		do = 196.443244337185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60738384-2.60757559) × cos(-1.40932298) × R
    0.000191750000000379 × 0.160772561321776 × 6371000     		du = 196.406071234102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40929215)-sin(-1.40932298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160802990192724-0.160772561321776)×R²
    abs(2.60757559-2.60738384)×3.04288709475353e-05×R²
    0.000191750000000379×3.04288709475353e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.04288709475353e-05×40589641000000     		ar = 38581.3246863582m²