Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29981 / 20725
↖ ↑ ↗
← N 55.012276°
W 15.309448°		 ← 350.26 m → N 55.012276°
W 15.303955°		 →
↑
350.28 m
↓
↑
350.28 m
↓
N 55.009126°
W 15.309448°		 ← 350.29 m →
122 694 m²		 N 55.009126°
W 15.303955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457481384277344 y=0.316246032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457481384277344 × 216)
    floor (0.457481384277344 × 65536)
    floor (29981.5)     		tx = 29981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316246032714844 × 216)
    floor (0.316246032714844 × 65536)
    floor (20725.5)     		ty = 20725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29981 / 20725 ti = "16/29981/20725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29981/20725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29981 ÷ 216
    29981 ÷ 65536     		x = 0.457473754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20725 ÷ 216
    20725 ÷ 65536     		y = 0.316238403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457473754882812 × 2 - 1) × π
    -0.085052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26720028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316238403320312 × 2 - 1) × π
    0.367523193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15460816424867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26720028} λ = -0.26720028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15460816424867))-π/2
    2×atan(3.17277996530749)-π/2
    2×1.26547083843056-π/2
    2.53094167686112-1.57079632675     		φ = 0.96014535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26720028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.309448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96014535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.012276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29981 KachelY 20725 -0.26720028 0.96014535 -15.309448 55.012276
    Oben rechts KachelX + 1 29982 KachelY 20725 -0.26710440 0.96014535 -15.303955 55.012276
    Unten links KachelX 29981 KachelY + 1 20726 -0.26720028 0.96009037 -15.309448 55.009126
    Unten rechts KachelX + 1 29982 KachelY + 1 20726 -0.26710440 0.96009037 -15.303955 55.009126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96014535-0.96009037) × R
    5.49800000000378e-05 × 6371000     		dl = 350.277580000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96014535-0.96009037) × R
    5.49800000000378e-05 × 6371000     		dr = 350.277580000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26720028--0.26710440) × cos(0.96014535) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573400910520153 × 6371000     		do = 350.262794824556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26720028--0.26710440) × cos(0.96009037) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573445953388637 × 6371000     		du = 350.290309327433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96014535)-sin(0.96009037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573400910520153-0.573445953388637)×R²
    abs(-0.26710440--0.26720028)×4.50428684833915e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50428684833915e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50428684833915e-05×40589641000000     		ar = 122694.023022986m²