Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29980 / 15100
↖ ↑ ↗
← N 69.170373°
W 15.314941°		 ← 217.19 m → N 69.170373°
W 15.309448°		 →
↑
217.25 m
↓
↑
217.25 m
↓
N 69.168419°
W 15.314941°		 ← 217.21 m →
47 187 m²		 N 69.168419°
W 15.309448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457466125488281 y=0.230415344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457466125488281 × 216)
    floor (0.457466125488281 × 65536)
    floor (29980.5)     		tx = 29980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230415344238281 × 216)
    floor (0.230415344238281 × 65536)
    floor (15100.5)     		ty = 15100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29980 / 15100 ti = "16/29980/15100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29980/15100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29980 ÷ 216
    29980 ÷ 65536     		x = 0.45745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15100 ÷ 216
    15100 ÷ 65536     		y = 0.23040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0850830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26729615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23040771484375 × 2 - 1) × π
    0.5391845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6938982849743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26729615} λ = -0.26729615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6938982849743))-π/2
    2×atan(5.44064861780377)-π/2
    2×1.3890235364964-π/2
    2.7780470729928-1.57079632675     		φ = 1.20725075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26729615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.314941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20725075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.170373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29980 KachelY 15100 -0.26729615 1.20725075 -15.314941 69.170373
    Oben rechts KachelX + 1 29981 KachelY 15100 -0.26720028 1.20725075 -15.309448 69.170373
    Unten links KachelX 29980 KachelY + 1 15101 -0.26729615 1.20721665 -15.314941 69.168419
    Unten rechts KachelX + 1 29981 KachelY + 1 15101 -0.26720028 1.20721665 -15.309448 69.168419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20725075-1.20721665) × R
    3.41000000001479e-05 × 6371000     		dl = 217.251100000942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20725075-1.20721665) × R
    3.41000000001479e-05 × 6371000     		dr = 217.251100000942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26729615--0.26720028) × cos(1.20725075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355590306145506 × 6371000     		do = 217.190210124226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26729615--0.26720028) × cos(1.20721665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355622177228514 × 6371000     		du = 217.209676591944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20725075)-sin(1.20721665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355590306145506-0.355622177228514)×R²
    abs(-0.26720028--0.26729615)×3.18710830077285e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18710830077285e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18710830077285e-05×40589641000000     		ar = 47186.9266192068m²