Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29979 / 20733
↖ ↑ ↗
← N 54.987070°
W 15.320435°		 ← 350.48 m → N 54.987070°
W 15.314941°		 →
↑
350.47 m
↓
↑
350.47 m
↓
N 54.983918°
W 15.320435°		 ← 350.51 m →
122 838 m²		 N 54.983918°
W 15.314941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457450866699219 y=0.316368103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457450866699219 × 216)
    floor (0.457450866699219 × 65536)
    floor (29979.5)     		tx = 29979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316368103027344 × 216)
    floor (0.316368103027344 × 65536)
    floor (20733.5)     		ty = 20733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29979 / 20733 ti = "16/29979/20733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29979/20733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29979 ÷ 216
    29979 ÷ 65536     		x = 0.457443237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20733 ÷ 216
    20733 ÷ 65536     		y = 0.316360473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457443237304688 × 2 - 1) × π
    -0.085113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26739203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316360473632812 × 2 - 1) × π
    0.367279052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15384117385475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26739203} λ = -0.26739203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15384117385475))-π/2
    2×atan(3.17034740654593)-π/2
    2×1.26525087283924-π/2
    2.53050174567849-1.57079632675     		φ = 0.95970542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26739203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.320435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95970542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.987070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29979 KachelY 20733 -0.26739203 0.95970542 -15.320435 54.987070
    Oben rechts KachelX + 1 29980 KachelY 20733 -0.26729615 0.95970542 -15.314941 54.987070
    Unten links KachelX 29979 KachelY + 1 20734 -0.26739203 0.95965041 -15.320435 54.983918
    Unten rechts KachelX + 1 29980 KachelY + 1 20734 -0.26729615 0.95965041 -15.314941 54.983918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95970542-0.95965041) × R
    5.50100000000775e-05 × 6371000     		dl = 350.468710000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95970542-0.95965041) × R
    5.50100000000775e-05 × 6371000     		dr = 350.468710000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26739203--0.26729615) × cos(0.95970542) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573761278636877 × 6371000     		do = 350.482926222002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26739203--0.26729615) × cos(0.95965041) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573806332201139 × 6371000     		du = 350.51044725841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95970542)-sin(0.95965041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573761278636877-0.573806332201139)×R²
    abs(-0.26729615--0.26739203)×4.50535642619876e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50535642619876e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50535642619876e-05×40589641000000     		ar = 122838.121692208m²