Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29979 / 20716
↖ ↑ ↗
← N 55.040614°
W 15.320435°		 ← 350.02 m → N 55.040614°
W 15.314941°		 →
↑
350.02 m
↓
↑
350.02 m
↓
N 55.037466°
W 15.320435°		 ← 350.04 m →
122 518 m²		 N 55.037466°
W 15.314941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457450866699219 y=0.316108703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457450866699219 × 216)
    floor (0.457450866699219 × 65536)
    floor (29979.5)     		tx = 29979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316108703613281 × 216)
    floor (0.316108703613281 × 65536)
    floor (20716.5)     		ty = 20716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29979 / 20716 ti = "16/29979/20716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29979/20716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29979 ÷ 216
    29979 ÷ 65536     		x = 0.457443237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20716 ÷ 216
    20716 ÷ 65536     		y = 0.31610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457443237304688 × 2 - 1) × π
    -0.085113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26739203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31610107421875 × 2 - 1) × π
    0.3677978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15547102844183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26739203} λ = -0.26739203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15547102844183))-π/2
    2×atan(3.17551882499438)-π/2
    2×1.2657181345575-π/2
    2.53143626911499-1.57079632675     		φ = 0.96063994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26739203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.320435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96063994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.040614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29979 KachelY 20716 -0.26739203 0.96063994 -15.320435 55.040614
    Oben rechts KachelX + 1 29980 KachelY 20716 -0.26729615 0.96063994 -15.314941 55.040614
    Unten links KachelX 29979 KachelY + 1 20717 -0.26739203 0.96058500 -15.320435 55.037466
    Unten rechts KachelX + 1 29980 KachelY + 1 20717 -0.26729615 0.96058500 -15.314941 55.037466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96063994-0.96058500) × R
    5.49399999999478e-05 × 6371000     		dl = 350.022739999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96063994-0.96058500) × R
    5.49399999999478e-05 × 6371000     		dr = 350.022739999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26739203--0.26729615) × cos(0.96063994) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.572995635221152 × 6371000     		do = 350.015231808354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26739203--0.26729615) × cos(0.96058500) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573040660895899 × 6371000     		du = 350.042735808411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96063994)-sin(0.96058500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572995635221152-0.573040660895899)×R²
    abs(-0.26729615--0.26739203)×4.50256747465128e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50256747465128e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50256747465128e-05×40589641000000     		ar = 122518.104022767m²