Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29979 / 19868
↖ ↑ ↗
← N 57.621876°
W 15.320435°		 ← 327.11 m → N 57.621876°
W 15.314941°		 →
↑
327.15 m
↓
↑
327.15 m
↓
N 57.618933°
W 15.320435°		 ← 327.14 m →
107 020 m²		 N 57.618933°
W 15.314941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457450866699219 y=0.303169250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457450866699219 × 216)
    floor (0.457450866699219 × 65536)
    floor (29979.5)     		tx = 29979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303169250488281 × 216)
    floor (0.303169250488281 × 65536)
    floor (19868.5)     		ty = 19868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29979 / 19868 ti = "16/29979/19868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29979/19868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29979 ÷ 216
    29979 ÷ 65536     		x = 0.457443237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19868 ÷ 216
    19868 ÷ 65536     		y = 0.30316162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457443237304688 × 2 - 1) × π
    -0.085113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26739203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30316162109375 × 2 - 1) × π
    0.3936767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23677201019745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26739203} λ = -0.26739203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23677201019745))-π/2
    2×atan(3.44447676398543)-π/2
    2×1.28824388666712-π/2
    2.57648777333424-1.57079632675     		φ = 1.00569145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26739203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.320435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00569145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.621876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29979 KachelY 19868 -0.26739203 1.00569145 -15.320435 57.621876
    Oben rechts KachelX + 1 29980 KachelY 19868 -0.26729615 1.00569145 -15.314941 57.621876
    Unten links KachelX 29979 KachelY + 1 19869 -0.26739203 1.00564010 -15.320435 57.618933
    Unten rechts KachelX + 1 29980 KachelY + 1 19869 -0.26729615 1.00564010 -15.314941 57.618933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00569145-1.00564010) × R
    5.13500000001166e-05 × 6371000     		dl = 327.150850000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00569145-1.00564010) × R
    5.13500000001166e-05 × 6371000     		dr = 327.150850000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26739203--0.26729615) × cos(1.00569145) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.535504390811882 × 6371000     		do = 327.113649673912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26739203--0.26729615) × cos(1.00564010) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.535547756846801 × 6371000     		du = 327.140139880523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00569145)-sin(1.00564010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535504390811882-0.535547756846801)×R²
    abs(-0.26729615--0.26739203)×4.33660349183906e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33660349183906e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33660349183906e-05×40589641000000     		ar = 107019.841707917m²