Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29978 / 29388
↖ ↑ ↗
← S 80.553733°
E149.348144°		 ← 200.50 m → S 80.553733°
E149.359131°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
S 80.555536°
E149.348144°		 ← 200.46 m →
40 195 m²		 S 80.555536°
E149.359131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914871215820312 y=0.896865844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914871215820312 × 215)
    floor (0.914871215820312 × 32768)
    floor (29978.5)     		tx = 29978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896865844726562 × 215)
    floor (0.896865844726562 × 32768)
    floor (29388.5)     		ty = 29388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29978 / 29388 ti = "15/29978/29388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29978/29388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29978 ÷ 215
    29978 ÷ 32768     		x = 0.91485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29388 ÷ 215
    29388 ÷ 32768     		y = 0.8968505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91485595703125 × 2 - 1) × π
    0.8297119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60661685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8968505859375 × 2 - 1) × π
    -0.793701171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.49348577063684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60661685} λ = 2.60661685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49348577063684))-π/2
    2×atan(0.0826214645662218)-π/2
    2×0.0824342310271564-π/2
    0.164868462054313-1.57079632675     		φ = -1.40592786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60661685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.348144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40592786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.553733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29978 KachelY 29388 2.60661685 -1.40592786 149.348144 -80.553733
    Oben rechts KachelX + 1 29979 KachelY 29388 2.60680860 -1.40592786 149.359131 -80.553733
    Unten links KachelX 29978 KachelY + 1 29389 2.60661685 -1.40595933 149.348144 -80.555536
    Unten rechts KachelX + 1 29979 KachelY + 1 29389 2.60680860 -1.40595933 149.359131 -80.555536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40592786--1.40595933) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dl = 200.495369999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40592786--1.40595933) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dr = 200.495369999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60661685-2.60680860) × cos(-1.40592786) × R
    0.000191749999999935 × 0.16412258280214 × 6371000     		do = 200.498588962401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60661685-2.60680860) × cos(-1.40595933) × R
    0.000191749999999935 × 0.164091539455603 × 6371000     		du = 200.46066519182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40592786)-sin(-1.40595933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16412258280214-0.164091539455603)×R²
    abs(2.60680860-2.60661685)×3.10433465371684e-05×R²
    0.000191749999999935×3.10433465371684e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.10433465371684e-05×40589641000000     		ar = 40195.2370108651m²