Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29978 / 20742
↖ ↑ ↗
← N 54.958694°
W 15.325928°		 ← 350.69 m → N 54.958694°
W 15.320435°		 →
↑
350.72 m
↓
↑
350.72 m
↓
N 54.955540°
W 15.325928°		 ← 350.72 m →
123 001 m²		 N 54.955540°
W 15.320435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457435607910156 y=0.316505432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457435607910156 × 216)
    floor (0.457435607910156 × 65536)
    floor (29978.5)     		tx = 29978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316505432128906 × 216)
    floor (0.316505432128906 × 65536)
    floor (20742.5)     		ty = 20742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29978 / 20742 ti = "16/29978/20742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29978/20742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29978 ÷ 216
    29978 ÷ 65536     		x = 0.457427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20742 ÷ 216
    20742 ÷ 65536     		y = 0.316497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.08514404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26748790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316497802734375 × 2 - 1) × π
    0.36700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15297830966159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26748790} λ = -0.26748790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15297830966159))-π/2
    2×atan(3.16761300716625)-π/2
    2×1.26500324632842-π/2
    2.53000649265683-1.57079632675     		φ = 0.95921017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26748790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.325928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95921017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.958694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29978 KachelY 20742 -0.26748790 0.95921017 -15.325928 54.958694
    Oben rechts KachelX + 1 29979 KachelY 20742 -0.26739203 0.95921017 -15.320435 54.958694
    Unten links KachelX 29978 KachelY + 1 20743 -0.26748790 0.95915512 -15.325928 54.955540
    Unten rechts KachelX + 1 29979 KachelY + 1 20743 -0.26739203 0.95915512 -15.320435 54.955540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95921017-0.95915512) × R
    5.50499999999454e-05 × 6371000     		dl = 350.723549999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95921017-0.95915512) × R
    5.50499999999454e-05 × 6371000     		dr = 350.723549999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26748790--0.26739203) × cos(0.95921017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574166829191689 × 6371000     		do = 350.694077209955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26748790--0.26739203) × cos(0.95915512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5742118998667 × 6371000     		du = 350.721605827037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95921017)-sin(0.95915512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574166829191689-0.5742118998667)×R²
    abs(-0.26739203--0.26748790)×4.50706750113605e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50706750113605e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50706750113605e-05×40589641000000     		ar = 123001.499221081m²