Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29978 / 15101
↖ ↑ ↗
← N 69.168419°
W 15.325928°		 ← 217.21 m → N 69.168419°
W 15.320435°		 →
↑
217.19 m
↓
↑
217.19 m
↓
N 69.166466°
W 15.325928°		 ← 217.23 m →
47 177 m²		 N 69.166466°
W 15.320435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457435607910156 y=0.230430603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457435607910156 × 216)
    floor (0.457435607910156 × 65536)
    floor (29978.5)     		tx = 29978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230430603027344 × 216)
    floor (0.230430603027344 × 65536)
    floor (15101.5)     		ty = 15101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29978 / 15101 ti = "16/29978/15101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29978/15101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29978 ÷ 216
    29978 ÷ 65536     		x = 0.457427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15101 ÷ 216
    15101 ÷ 65536     		y = 0.230422973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.08514404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26748790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230422973632812 × 2 - 1) × π
    0.539154052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69380241117506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26748790} λ = -0.26748790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69380241117506))-π/2
    2×atan(5.44012702715429)-π/2
    2×1.38900648983567-π/2
    2.77801297967135-1.57079632675     		φ = 1.20721665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26748790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.325928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20721665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.168419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29978 KachelY 15101 -0.26748790 1.20721665 -15.325928 69.168419
    Oben rechts KachelX + 1 29979 KachelY 15101 -0.26739203 1.20721665 -15.320435 69.168419
    Unten links KachelX 29978 KachelY + 1 15102 -0.26748790 1.20718256 -15.325928 69.166466
    Unten rechts KachelX + 1 29979 KachelY + 1 15102 -0.26739203 1.20718256 -15.320435 69.166466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20721665-1.20718256) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dl = 217.187389999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20721665-1.20718256) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dr = 217.187389999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26748790--0.26739203) × cos(1.20721665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355622177228514 × 6371000     		do = 217.209676591944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26748790--0.26739203) × cos(1.20718256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355654038551823 × 6371000     		du = 217.229137098558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20721665)-sin(1.20718256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355622177228514-0.355654038551823)×R²
    abs(-0.26739203--0.26748790)×3.18613233097897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18613233097897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18613233097897e-05×40589641000000     		ar = 47177.3160349115m²