Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29977 / 29755
↖ ↑ ↗
← S 81.193013°
E149.337158°		 ← 187.03 m → S 81.193013°
E149.348144°		 →
↑
186.99 m
↓
↑
186.99 m
↓
S 81.194695°
E149.337158°		 ← 187 m →
34 969 m²		 S 81.194695°
E149.348144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914840698242188 y=0.908065795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914840698242188 × 215)
    floor (0.914840698242188 × 32768)
    floor (29977.5)     		tx = 29977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908065795898438 × 215)
    floor (0.908065795898438 × 32768)
    floor (29755.5)     		ty = 29755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29977 / 29755 ti = "15/29977/29755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29977/29755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29977 ÷ 215
    29977 ÷ 32768     		x = 0.914825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29755 ÷ 215
    29755 ÷ 32768     		y = 0.908050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914825439453125 × 2 - 1) × π
    0.82965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60642511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.81610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56385713927908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60642511} λ = 2.60642511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56385713927908))-π/2
    2×atan(0.0770071396053808)-π/2
    2×0.076855458928321-π/2
    0.153710917856642-1.57079632675     		φ = -1.41708541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60642511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.337158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41708541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.193013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29977 KachelY 29755 2.60642511 -1.41708541 149.337158 -81.193013
    Oben rechts KachelX + 1 29978 KachelY 29755 2.60661685 -1.41708541 149.348144 -81.193013
    Unten links KachelX 29977 KachelY + 1 29756 2.60642511 -1.41711476 149.337158 -81.194695
    Unten rechts KachelX + 1 29978 KachelY + 1 29756 2.60661685 -1.41711476 149.348144 -81.194695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41708541--1.41711476) × R
    2.9349999999928e-05 × 6371000     		dl = 186.988849999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41708541--1.41711476) × R
    2.9349999999928e-05 × 6371000     		dr = 186.988849999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60642511-2.60661685) × cos(-1.41708541) × R
    0.000191739999999996 × 0.153106342303684 × 6371000     		do = 187.030962777044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60642511-2.60661685) × cos(-1.41711476) × R
    0.000191739999999996 × 0.153077338282503 × 6371000     		du = 186.995532174207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41708541)-sin(-1.41711476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153106342303684-0.153077338282503)×R²
    abs(2.60661685-2.60642511)×2.90040211814446e-05×R²
    0.000191739999999996×2.90040211814446e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.90040211814446e-05×40589641000000     		ar = 34969.3920824103m²