Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29977 / 15102
↖ ↑ ↗
← N 69.166466°
W 15.331421°		 ← 217.23 m → N 69.166466°
W 15.325928°		 →
↑
217.25 m
↓
↑
217.25 m
↓
N 69.164512°
W 15.331421°		 ← 217.25 m →
47 195 m²		 N 69.164512°
W 15.325928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457420349121094 y=0.230445861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457420349121094 × 216)
    floor (0.457420349121094 × 65536)
    floor (29977.5)     		tx = 29977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230445861816406 × 216)
    floor (0.230445861816406 × 65536)
    floor (15102.5)     		ty = 15102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29977 / 15102 ti = "16/29977/15102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29977/15102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29977 ÷ 216
    29977 ÷ 65536     		x = 0.457412719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15102 ÷ 216
    15102 ÷ 65536     		y = 0.230438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457412719726562 × 2 - 1) × π
    -0.085174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26758377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230438232421875 × 2 - 1) × π
    0.53912353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69370653737582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26758377} λ = -0.26758377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69370653737582))-π/2
    2×atan(5.43960548650929)-π/2
    2×1.38898944164739-π/2
    2.77797888329478-1.57079632675     		φ = 1.20718256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26758377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.331421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20718256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.166466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29977 KachelY 15102 -0.26758377 1.20718256 -15.331421 69.166466
    Oben rechts KachelX + 1 29978 KachelY 15102 -0.26748790 1.20718256 -15.325928 69.166466
    Unten links KachelX 29977 KachelY + 1 15103 -0.26758377 1.20714846 -15.331421 69.164512
    Unten rechts KachelX + 1 29978 KachelY + 1 15103 -0.26748790 1.20714846 -15.325928 69.164512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20718256-1.20714846) × R
    3.40999999999259e-05 × 6371000     		dl = 217.251099999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20718256-1.20714846) × R
    3.40999999999259e-05 × 6371000     		dr = 217.251099999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26758377--0.26748790) × cos(1.20718256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355654038551823 × 6371000     		do = 217.229137098558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26758377--0.26748790) × cos(1.20714846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355685908807873 × 6371000     		du = 217.248603061179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20718256)-sin(1.20714846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355654038551823-0.355685908807873)×R²
    abs(-0.26748790--0.26758377)×3.18702560496709e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18702560496709e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18702560496709e-05×40589641000000     		ar = 47195.3834921343m²