Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29976 / 20776
↖ ↑ ↗
← N 54.851315°
W 15.336914°		 ← 351.67 m → N 54.851315°
W 15.331421°		 →
↑
351.68 m
↓
↑
351.68 m
↓
N 54.848153°
W 15.336914°		 ← 351.69 m →
123 679 m²		 N 54.848153°
W 15.331421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457405090332031 y=0.317024230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457405090332031 × 216)
    floor (0.457405090332031 × 65536)
    floor (29976.5)     		tx = 29976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317024230957031 × 216)
    floor (0.317024230957031 × 65536)
    floor (20776.5)     		ty = 20776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29976 / 20776 ti = "16/29976/20776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29976/20776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29976 ÷ 216
    29976 ÷ 65536     		x = 0.4573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20776 ÷ 216
    20776 ÷ 65536     		y = 0.3170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26767965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3170166015625 × 2 - 1) × π
    0.365966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14971860048743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26767965} λ = -0.26767965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14971860048743))-π/2
    2×atan(3.15730432077448)-π/2
    2×1.26406618855345-π/2
    2.52813237710691-1.57079632675     		φ = 0.95733605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26767965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.336914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95733605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.851315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29976 KachelY 20776 -0.26767965 0.95733605 -15.336914 54.851315
    Oben rechts KachelX + 1 29977 KachelY 20776 -0.26758377 0.95733605 -15.331421 54.851315
    Unten links KachelX 29976 KachelY + 1 20777 -0.26767965 0.95728085 -15.336914 54.848153
    Unten rechts KachelX + 1 29977 KachelY + 1 20777 -0.26758377 0.95728085 -15.331421 54.848153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95733605-0.95728085) × R
    5.5200000000033e-05 × 6371000     		dl = 351.67920000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95733605-0.95728085) × R
    5.5200000000033e-05 × 6371000     		dr = 351.67920000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26767965--0.26758377) × cos(0.95733605) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575700233841436 × 6371000     		do = 351.66733987836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26767965--0.26758377) × cos(0.95728085) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575745367842403 × 6371000     		du = 351.694910049649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95733605)-sin(0.95728085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575700233841436-0.575745367842403)×R²
    abs(-0.26758377--0.26767965)×4.51340009668399e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51340009668399e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51340009668399e-05×40589641000000     		ar = 123678.936713992m²