Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29975 / 29403
↖ ↑ ↗
← S 80.580741°
E149.315185°		 ← 199.93 m → S 80.580741°
E149.326172°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
S 80.582539°
E149.315185°		 ← 199.89 m →
39 967 m²		 S 80.582539°
E149.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914779663085938 y=0.897323608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914779663085938 × 215)
    floor (0.914779663085938 × 32768)
    floor (29975.5)     		tx = 29975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897323608398438 × 215)
    floor (0.897323608398438 × 32768)
    floor (29403.5)     		ty = 29403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29975 / 29403 ti = "15/29975/29403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29975/29403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29975 ÷ 215
    29975 ÷ 32768     		x = 0.914764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29403 ÷ 215
    29403 ÷ 32768     		y = 0.897308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914764404296875 × 2 - 1) × π
    0.82952880859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60604161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.79461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.49636198461404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60604161} λ = 2.60604161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49636198461404))-π/2
    2×atan(0.0823841689750552)-π/2
    2×0.0821985397205647-π/2
    0.164397079441129-1.57079632675     		φ = -1.40639925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60604161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.315185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40639925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.580741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29975 KachelY 29403 2.60604161 -1.40639925 149.315185 -80.580741
    Oben rechts KachelX + 1 29976 KachelY 29403 2.60623336 -1.40639925 149.326172 -80.580741
    Unten links KachelX 29975 KachelY + 1 29404 2.60604161 -1.40643063 149.315185 -80.582539
    Unten rechts KachelX + 1 29976 KachelY + 1 29404 2.60623336 -1.40643063 149.326172 -80.582539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40639925--1.40643063) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40639925--1.40643063) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60604161-2.60623336) × cos(-1.40639925) × R
    0.000191749999999935 × 0.163657566655929 × 6371000     		do = 199.930506986306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60604161-2.60623336) × cos(-1.40643063) × R
    0.000191749999999935 × 0.163626609665383 × 6371000     		du = 199.892688711593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40639925)-sin(-1.40643063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163657566655929-0.163626609665383)×R²
    abs(2.60623336-2.60604161)×3.09569905463658e-05×R²
    0.000191749999999935×3.09569905463658e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.09569905463658e-05×40589641000000     		ar = 39966.7224702163m²