Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29975 / 21913
↖ ↑ ↗
← N 75.914184°
W 97.671204°		 ← 74.33 m → N 75.914184°
W 97.668457°		 →
↑
74.35 m
↓
↑
74.35 m
↓
N 75.913515°
W 97.671204°		 ← 74.34 m →
5 527 m²		 N 75.913515°
W 97.668457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228694915771484 y=0.167186737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228694915771484 × 217)
    floor (0.228694915771484 × 131072)
    floor (29975.5)     		tx = 29975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167186737060547 × 217)
    floor (0.167186737060547 × 131072)
    floor (21913.5)     		ty = 21913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29975 / 21913 ti = "17/29975/21913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29975/21913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29975 ÷ 217
    29975 ÷ 131072     		x = 0.228691101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21913 ÷ 217
    21913 ÷ 131072     		y = 0.167182922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228691101074219 × 2 - 1) × π
    -0.542617797851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.70468409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167182922363281 × 2 - 1) × π
    0.665634155273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.09115137212571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70468409} λ = -1.70468409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09115137212571))-π/2
    2×atan(8.09422927123657)-π/2
    2×1.44787439250874-π/2
    2.89574878501749-1.57079632675     		φ = 1.32495246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70468409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.671204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32495246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.914184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29975 KachelY 21913 -1.70468409 1.32495246 -97.671204 75.914184
    Oben rechts KachelX + 1 29976 KachelY 21913 -1.70463615 1.32495246 -97.668457 75.914184
    Unten links KachelX 29975 KachelY + 1 21914 -1.70468409 1.32494079 -97.671204 75.913515
    Unten rechts KachelX + 1 29976 KachelY + 1 21914 -1.70463615 1.32494079 -97.668457 75.913515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32495246-1.32494079) × R
    1.16699999999081e-05 × 6371000     		dl = 74.3495699994148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32495246-1.32494079) × R
    1.16699999999081e-05 × 6371000     		dr = 74.3495699994148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70468409--1.70463615) × cos(1.32495246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243374905002914 × 6371000     		do = 74.332960457896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70468409--1.70463615) × cos(1.32494079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243386224096216 × 6371000     		du = 74.3364176003439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32495246)-sin(1.32494079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243374905002914-0.243386224096216)×R²
    abs(-1.70463615--1.70468409)×1.13190933022089e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13190933022089e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13190933022089e-05×40589641000000     		ar = 5526.75216529644m²