Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29975 / 15082
↖ ↑ ↗
← N 69.205504°
W 15.342407°		 ← 216.84 m → N 69.205504°
W 15.336914°		 →
↑
216.81 m
↓
↑
216.81 m
↓
N 69.203554°
W 15.342407°		 ← 216.86 m →
47 014 m²		 N 69.203554°
W 15.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457389831542969 y=0.230140686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457389831542969 × 216)
    floor (0.457389831542969 × 65536)
    floor (29975.5)     		tx = 29975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230140686035156 × 216)
    floor (0.230140686035156 × 65536)
    floor (15082.5)     		ty = 15082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29975 / 15082 ti = "16/29975/15082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29975/15082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29975 ÷ 216
    29975 ÷ 65536     		x = 0.457382202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15082 ÷ 216
    15082 ÷ 65536     		y = 0.230133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457382202148438 × 2 - 1) × π
    -0.085235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26777552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230133056640625 × 2 - 1) × π
    0.53973388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69562401336063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26777552} λ = -0.26777552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69562401336063))-π/2
    2×atan(5.45004580572832)-π/2
    2×1.38933011531005-π/2
    2.7786602306201-1.57079632675     		φ = 1.20786390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26777552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.342407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20786390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.205504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29975 KachelY 15082 -0.26777552 1.20786390 -15.342407 69.205504
    Oben rechts KachelX + 1 29976 KachelY 15082 -0.26767965 1.20786390 -15.336914 69.205504
    Unten links KachelX 29975 KachelY + 1 15083 -0.26777552 1.20782987 -15.342407 69.203554
    Unten rechts KachelX + 1 29976 KachelY + 1 15083 -0.26767965 1.20782987 -15.336914 69.203554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20786390-1.20782987) × R
    3.40299999999072e-05 × 6371000     		dl = 216.805129999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20786390-1.20782987) × R
    3.40299999999072e-05 × 6371000     		dr = 216.805129999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26777552--0.26767965) × cos(1.20786390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355017163640459 × 6371000     		do = 216.840141691676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26777552--0.26767965) × cos(1.20782987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3550489767133 × 6371000     		du = 216.859572727494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20786390)-sin(1.20782987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355017163640459-0.3550489767133)×R²
    abs(-0.26767965--0.26777552)×3.18130728406696e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18130728406696e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18130728406696e-05×40589641000000     		ar = 47014.1614872366m²