Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29974 / 29742
↖ ↑ ↗
← S 81.171119°
E149.304199°		 ← 187.50 m → S 81.171119°
E149.315185°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
S 81.172805°
E149.304199°		 ← 187.47 m →
35 141 m²		 S 81.172805°
E149.315185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914749145507812 y=0.907669067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914749145507812 × 215)
    floor (0.914749145507812 × 32768)
    floor (29974.5)     		tx = 29974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907669067382812 × 215)
    floor (0.907669067382812 × 32768)
    floor (29742.5)     		ty = 29742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29974 / 29742 ti = "15/29974/29742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29974/29742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29974 ÷ 215
    29974 ÷ 32768     		x = 0.91473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29742 ÷ 215
    29742 ÷ 32768     		y = 0.90765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91473388671875 × 2 - 1) × π
    0.8294677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60584986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90765380859375 × 2 - 1) × π
    -0.8153076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56136442049884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60584986} λ = 2.60584986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56136442049884))-π/2
    2×atan(0.077199336194992)-π/2
    2×0.0770465196785282-π/2
    0.154093039357056-1.57079632675     		φ = -1.41670329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60584986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.304199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41670329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.171119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29974 KachelY 29742 2.60584986 -1.41670329 149.304199 -81.171119
    Oben rechts KachelX + 1 29975 KachelY 29742 2.60604161 -1.41670329 149.315185 -81.171119
    Unten links KachelX 29974 KachelY + 1 29743 2.60584986 -1.41673271 149.304199 -81.172805
    Unten rechts KachelX + 1 29975 KachelY + 1 29743 2.60604161 -1.41673271 149.315185 -81.172805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41670329--1.41673271) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dl = 187.434819999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41670329--1.41673271) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dr = 187.434819999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60584986-2.60604161) × cos(-1.41670329) × R
    0.000191749999999935 × 0.153483945814204 × 6371000     		do = 187.502012451441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60584986-2.60604161) × cos(-1.41673271) × R
    0.000191749999999935 × 0.153454874341203 × 6371000     		du = 187.466497598968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41670329)-sin(-1.41673271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153483945814204-0.153454874341203)×R²
    abs(2.60604161-2.60584986)×2.90714730006025e-05×R²
    0.000191749999999935×2.90714730006025e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.90714730006025e-05×40589641000000     		ar = 35141.0775962501m²